证明：|e^z—1|<e^|z|—1<|z|e^|z|

证明：|e^z—1|<e^|z|—1<|z|e^|z|

由于数学公式输入不能支持，就用图片啦，如不理解，可追问。

。。
< 都要换成 ≤，明显z=0时三个表达式都等于0
先证左边|e^z—1|<e^|z|—1即证
1 - e^|z| ≤ e^z—1 ≤ e^|z|—1
这个不等式的左边即e^|z| + e^z ≥ 2 右边即e^|z| ≥ e^z
z>=0,∵e^z ≥ 1 ∴上面均成立
z<0,e^|z| + e^z=e^(-z) + e^z ≥ 2√(1/e^z * e^z )=2, 右边∵z<0∴e^z <1,e^|z|>1>e^z
然后证明e^|z|—1≤z|e^|z|， 即1-1/e^|z|≤|z|,1/e^|z|≥ 1-|z|,由图像成立
（原因是e^x 或e^(-x)的导数分别是e^x和-e^(-x),它们在点（0，1）处的切线斜率为±1,即y=±x+1)
也就是说折线|z|+1是1/e^|z|在切点（0，1）上两个方向上的切线,1/e^|z|开口向上，切线当然在下方

首先 < 都要换成 ≤，明显z=0时三个表达式都等于0
先证左边|e^z—1|<e^|z|—1即证
1 - e^|z| ≤ e^z—1 ≤ e^|z|—1
这个不等式的左边即e^|z| + e^z ≥ 2 右边即e^|z| ≥ e^z
z>=0,∵e^z ≥ 1 ∴上面均成立
z<0,e^|z| + e^z=e^(-z) + e^z ≥ 2√(1/e^z * e^z )=2, 右边∵z<0∴e^z <1,e^|z|>1>e^z
然后证明e^|z|—1≤z|e^|z|， 即1-1/e^|z|≤|z|,1/e^|z|≥ 1-|z|,由图像可知成立。
（原因是e^x 或e^(-x)的导数分别是e^x和-e^(-x),它们在点（0，1）处的切线斜率为±1,即y=±x+1)
也就是说折线|z|+1是1/e^|z|在切点（0，1）上两个方向上的切线,1/e^|z|开口向上，切线当然在下方
综上所述，不等式|e^z—1| ≤ e^|z|—1 ≤ |z|e^|z|成立