在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15

在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15
(1)求前n项和Sn
(2)当n为何值时,Sn有最大值?并求出它的最大值

在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15
(1)求前n项和Sn
解：
因为an是等差数列，所以S10=(a1+a10)*10/2=(2a1+9d)*5=10a1+45d
S15=(a1+a15)*15/2=(2a1+14d)*15/2=15a1+105d
因为S10=S15
所以10a1+45d=15a1+105d
60d=-5a1
d=-a1/12
因为a1=20，所以d=-5/3
an=20-5(n-1)/3=65/3-5n/3
Sn=(20+65/3-5n/3)*n/2=125n/6-5n²/6

(2)当n为何值时,Sn有最大值?并求出它的最大值
解：
Sn=125n/6-5n²/6
=-5/6*(n²-25n)
=-5/6*(n²-25n+625/4)+3125/24
=-5/6*(n-25/2)²+3125/24
显然n=25/2时，Sn最大，但是n是整数，所以比较当n=12，和n=13时，Sn的大小
当n=12时，Sn=125*12/6-5*12²/6=130
当n=13时,Sn=125*13/6-5*13²/6=130
所以当n取12，或者13的时候，Sn有最大值，最大值为130

∵sn=a1+nd(n-1)/2=dn²/2+(a1-nd/2)

∴可设sn=an²+bn ∵s10=s15 ∴100a+10b=225a+15b ∴125a+5b=0 又∵a1=s1=a+b=20 ∴a=5/6，b=125/6 ∴sn=-5/6n²+125/6n