如图,在△ABC中,∠BAC=50°,∠ACB=75°,点I是两条角平分线的交点.

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=75°，点I是两条角平分线的交点．
⑴求∠BIC的度数；
⑵若点D是两条外角平分线的交点，求∠BDC的度数；
⑶若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

(1)∠A=50，∠ACB=75，∠ABC=55，
∠IBC=1/2∠ABC=55/2，∠ICB=1/2∠ACB=75/2
∠IBC+∠ICB=1/2（∠ACB+∠ABC）=65
∠BIC=180-65=115
2、同理可∠DBC=125/2，∠DCB=105/2，∠DBC+∠DcB=115
∠D=65
3、∠ECG=∠EBG+∠E
∠ACG=∠ABC+∠A，即2∠ECG=2∠EBG+∠A
把、∠ECG=∠EBG+∠E代入2∠ECG=2∠EBG+∠A
∠A=2∠E

∠abc=180°-50°-75°=55° (1)设ac与bi交于点f ∠bic=∠ifc+∠aci =1/2∠abc+∠a+1/2∠acb =1/2(∠abc+∠acb+∠a)+1/2∠a =90°+25° =115° (2)∠bdc=180°-∠dbc-∠bcd =180°-(180°-∠abc)/2-(180°-∠acb)/2 =(∠abc+∠acb)/2 =(55°+75°)/2 =65° (3)∠bcd=∠abc/2+∠bec ∠bcd=(∠bac+∠abc)/2 ∠bac/2+∠abc/2=∠abc/2+∠bec ∠bec=1/2∠bac

解：（1）在△ABC中， ∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°， ∴∠ABC=180°-40°-75°=65°． ∵BI是∠ABC的平分线， ∴∠CBI= 12 ∠ABC= 12 ×65°=32.5°． ∵CI是∠ABC的平分线， ∴∠BCI= 12 ∠ACB= 12 ×75°=37.5°． 在△BCI ∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°， ∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°． （2）∵∠MBC是△ABC的外角， ∴∠MBC=∠A+∠ACB． ∵∠NCB是△ABC的外角， ∴∠NCB=∠A+∠ABC． ∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°． ∵BD是∠MBC的平分线， ∴∠CBD= 12 ∠MBC． ∵CD是∠NCB的平分线， ∴∠BCD= 12 ∠NCB． ∴∠CBD+∠BCD= 12 （∠MBC+∠NCB）= 12 ×220°=110°． 在△BCD中 ∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°， ∴∠BDC=180°-110°=70°． （3）∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE= 12 ∠ABC． ∵∠ACG是△ABC的外角， ∴∠ACG=∠BAC+∠ABC． ∵CE是∠ACG的平分线， ∴∠ECG= 12 （∠BAC+∠ABC）= 12 ∠BAC+ 12 ∠ABC． ∵∠ECG是△BCE的外角， ∴∠ECG=∠CBE+∠BEC． ∴ 12 ∠BAC+ 12 ∠ABC= 12 ∠ABC+∠BEC． ∴∠BAC=2∠BEC．