A1>0,A1≠1,An+1=2An/1+An(n=1,2..)求证An+1≠An

(1)求证An+1≠An
(2)令A1=1/2，求An的通项公式

1.反证法
若An+1=An
则An=2An/1+An，得An=0或1
不符合题意
……………………
2.由An+1=2An/1+An
等式两边被1除得
1/A（n+1）=1/2An+1/2
等式两边各加入
1/A（n+1）+入=1/2An+1/2+入
=1/2(1/An +1+2入)

令入=1+2入
得入=-1
所以
1/A（n+1）-1=1/2(1/An -1)
即{1/An -1}为等比数列
首项为1/A1-1=1
公比为1/2
1/An -1=2^(1-n)
An=1/[2^(1-n)+1] (An等于2的（1-n）次方加上1的倒数)
A1=1/2符合上式
所以An=1/[2^(1-n)+1]

假设an+1=an 则an=2an/1+an，得an=0或1 与题意相矛盾 所以an+1不等于an a2=2/3 a3=4/5 a4=8/9 a5=16/17 由an+1=2an/1+an 等式两边被1除得 1/a（n+1）=1/2an+1/2 等式两边各加x 1/a（n+1）+x=1/2an+1/2+x =1/2(1/an +1+2x) 令x=1+2x 得x=-1 所以 1/a（n+1）-1=1/2(1/an -1) 即{1/an -1}为等比数列 首项为1/a1-1=1 公比q为1/2 1/an -1=2^(1-n) an=1/[2^(1-n)+1] (an等于2的（1-n）次方加上1的倒数) a1=1/2符合上式 所以an=1/[2^(1-n)+1]