已知αβ是关于x的方程x^2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α^3-α^2β-αβ^2+β^
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-04-27 14:36
- 提问者网友：雨之落き
- 2021-04-27 01:44
已知αβ是关于x的方程x^2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α^3-α^2β-αβ^2+β^3=0，求证:p=0，q＜0
最佳答案
- 二级知识专家网友：星痕之殇
- 2021-04-27 01:59
α^3-α^2β-αβ^2+β^3=0
α^2（α-β）-β^2（α-β）=0
（α-β）（α^2-β^2）=0
（α-β)^2 (α+β)=0
故（α-β)^2=0或者α+β=0
当（α-β)^2=0，可得α=β，这与题目中有两个不等的实数根矛盾
当α+β=0，可得0=α+β=-p ，故p=0
当p=0时，原方程化为x^2+q=0 这时只能q＜0
命题证毕
α^2（α-β）-β^2（α-β）=0
（α-β）（α^2-β^2）=0
（α-β)^2 (α+β)=0
故（α-β)^2=0或者α+β=0
当（α-β)^2=0，可得α=β，这与题目中有两个不等的实数根矛盾
当α+β=0，可得0=α+β=-p ，故p=0
当p=0时，原方程化为x^2+q=0 这时只能q＜0
命题证毕
全部回答
- 1楼网友：苦柚恕我颓废
- 2021-04-27 03:32
证明：∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-p，αβ=q；
∵α3-α2β-αβ2+β3=0，
∴α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0；
∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α≠β，
∴α-β≠0，
∴α+β=-p=0，△=p2-4q＞0；
∴p=0，-4q＞0，
∴q＜0．
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