设函数f(x)是定义在(0,+ ∞)上的函数,并且满足下面三个条件:
答案:2 悬赏:80
解决时间 2021-02-17 17:39
- 提问者网友:记得曾经
- 2021-02-17 06:53
设函数f(x)是定义在(0,+ ∞)上的函数,并且满足下面三个条件:
最佳答案
- 二级知识专家网友:几近狂妄
- 2021-02-17 08:27
在f(xy)=f(x)+f(y)中令y=1,可得f(1)=0.
从f(xy)=f(x)+f(y)中令y=x^{n-1}可得
f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=f(x^{n-2})+2f(x)=f(x^{n-3})+3f(x)=...=nf(x),即
f(x^n)=nf(x);
在上式中令y=x^n,可得f(y^{1/n})=(1/n)f(x).
在f(xy)=f(x)+f(y)中令y=1/x,可得f(1/x)=-f(x).
从而,f(1/9)=-f(9)=-f(3^2)=-2f(3)=2.
设01,根据条件可得f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0,即f(x)为严格单调减函数。
如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,则可知01/9,由此推出
1-10^{1/2}/3
同理可知,当k>0时,f(kx)+f(2-x)<2都有解。
从f(xy)=f(x)+f(y)中令y=x^{n-1}可得
f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=f(x^{n-2})+2f(x)=f(x^{n-3})+3f(x)=...=nf(x),即
f(x^n)=nf(x);
在上式中令y=x^n,可得f(y^{1/n})=(1/n)f(x).
在f(xy)=f(x)+f(y)中令y=1/x,可得f(1/x)=-f(x).
从而,f(1/9)=-f(9)=-f(3^2)=-2f(3)=2.
设0
如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,则可知0
1-10^{1/2}/3
同理可知,当k>0时,f(kx)+f(2-x)<2都有解。
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- 1楼网友:天凉才是好个秋
- 2021-02-17 09:40
授人以鱼不如授人以渔,教给你个方法:取巧法
f(xy)=f(x)+f(y) 看到它你该想到f的形式必定为类似alnx的形式
当x>1时,f(x)<0 那么这函数应该是-alnx的形式
f(3)=-1 那么这函数就可能是-lnx/ln3
把-lnx/ln3 代入 1、2、3 条件检查均满足,所以这个函数至少有-lnx/ln3这一种形式
所以:f(1)=0 f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2 以下结果自己去求,简单!
再交给一个法子:赋值法
f(xy)=f(x)+f(y) 所以f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0
f(1/9)=2f(1/3)=2(f(3)+f(1/9))=2f(3)+2f(1/9)=2+2f(1/9) 所以
f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2 等同于f(x(2-x)) x-1>0
f(x)-f(1)=f(x)<0
以上两式是典型增减性验证,说明函数在x>1的时候为减函数
同样做法证明x<1时也为减函数
提示:x(2-x)<1
以下就自己做吧,简单!
f(xy)=f(x)+f(y) 看到它你该想到f的形式必定为类似alnx的形式
当x>1时,f(x)<0 那么这函数应该是-alnx的形式
f(3)=-1 那么这函数就可能是-lnx/ln3
把-lnx/ln3 代入 1、2、3 条件检查均满足,所以这个函数至少有-lnx/ln3这一种形式
所以:f(1)=0 f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2 以下结果自己去求,简单!
再交给一个法子:赋值法
f(xy)=f(x)+f(y) 所以f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0
f(1/9)=2f(1/3)=2(f(3)+f(1/9))=2f(3)+2f(1/9)=2+2f(1/9) 所以
f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2 等同于f(x(2-x))
f(x)-f(1)=f(x)<0
以上两式是典型增减性验证,说明函数在x>1的时候为减函数
同样做法证明x<1时也为减函数
提示:x(2-x)<1
以下就自己做吧,简单!
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