什么是调和分析

什么是调和分析

调和分析起源于Euler,Fourier等著名科学家的研究，主要涉及算子插值方法、极大函数方法、球调和函数理论、位势理论、奇异积分以及一般可微函数空间等。经过近200年的发展，已经成为数学中的核心学科之一，在偏微分方程、代数数论中有广泛的应用。

调和分析是研究作为基本波形的叠加的函数或者信号的表示的数学分支。它研究并推广傅立叶级数和傅立叶变换的概念。基本波形称为调和函数，调和分析因此得名。在过去两个世纪中，它成了一个广泛的主题，内容包括从信号处理、量子力学到神经科学这样的宽广领域。
定义于Rn上的经典傅立叶变换仍然是一个处于研究状态的领域，特别是在关于更一般的对象（例如缓增广义函数）的傅立叶变换的方向。 例如，若我们加上在一个分布f的要求，我们可以试图用f的傅立叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是非0分布，有紧支撑 (这包含紧支撑函数)，则其傅立叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。
傅立叶级数可以在希尔伯特空间的意义下方便的研究，该空间提供了调和分析和泛函分析的一个联系。