高数题目，求解，设f(x)在区间[-a,a]（a>0）上具有二阶连续导数，f(0)=0, (1)写出f(x)带有拉格朗日余项

高数题目，求解，设f(x)在区间[-a,a]（a>0）上具有二阶连续导数，f(0)=0, (1)写出f(x)带有拉格朗日余项

缺条件：还应加上f'(0)=0，否则结论不成立
下面举一反例：f(x)=x+1, 在[-1,1]上具有二阶连续导数
∫{-1,1}f(x)dx>0
但f''(x)=0，故结论不成立
(1) 带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(η)/2*x^2 η在0与x之间
=f''(η)/2*x^2

(2) 利用(1)的结论
3∫{-a,a}f(x)dx=3∫{-a,a}f''(η)/2*x^2dx
=3/2*f''(η)*[x^3/3]{-a,a}
=a^3*f''(η)

（1）直接套用公式可得： f（x）=f（0）+f′（0）x+ 1 2! f′(0)+… +  1 n! f(n)(0)+ f(n+1)(ξ) (n+1) ， 其中 ξ 在0和x之间． （2） 由（1）可得： ∫ a ?a f(x)dx= ∫ a ?a f′(0)xdx+ ∫ a ?a x2 x! f″(ξ)dx = ∫ a ?a x2 x! f″(ξ)dx， 因为f（x）在[-a，a]上具有二阶联系偏导数 ∫ a ?a f′(0)xdx， 故f″（x）具有最大值和最小值， 设f″（x）最大值为m，最小值为m， 则 m≤f″（ξ）≤m， 所以： m 2 ∫  a ?a x2dx≤ ∫  a ?a f(x)dx= 1 2 ∫  a ?a x2f″(ξ)dx≤ m 2 ∫ a ?a x2dx， 即： ma3 3 ≤ ∫ a ?a f(x)dx≤ ma3 3 ， 即：m≤ 3 a3 ∫  a ?a f(x)dx≤m， 因为 f″（x）连续， 由连续函数的介值定理可得，至少存在一点η∈[-a，a]，使得： f″（η）= 3 a3 ∫  a ?a f(x)dx， 即：a3f″(η) ＝ 3 ∫  a ?a f(x)dx．