a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求abc和a^4+b^4+c^4
答案:3 悬赏:80
解决时间 2021-02-12 06:30
- 提问者网友：孤笛钟情你
- 2021-02-11 16:46
a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求abc和a^4+b^4+c^4
最佳答案
- 二级知识专家网友：我叫很个性
- 2021-02-11 17:32
因为 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) ，
所以 4=1-2(ab+bc+ca) ，解得 ab+bc+ca=-3/2 ，
又 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ，
所以 3-3abc=2+3/2 ，解得 abc=-1/6 。
因为 (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) ，
所以 9/4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2*(-1/6)*1 ，
解得 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=31/12 。
因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 ，
所以 a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=4-2*31/12=-7/6 。
所以 4=1-2(ab+bc+ca) ，解得 ab+bc+ca=-3/2 ，
又 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ，
所以 3-3abc=2+3/2 ，解得 abc=-1/6 。
因为 (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) ，
所以 9/4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2*(-1/6)*1 ，
解得 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=31/12 。
因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 ，
所以 a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=4-2*31/12=-7/6 。
全部回答
- 1楼网友：一个很哇塞的汉子
- 2021-02-11 19:29
abc=1/6
……=25/6
- 2楼网友：厌今念往
- 2021-02-11 19:08
因为(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c`2=2 所以ab+bc+ac=-1/2 ...a 因为a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a) 所以abc=1/6 ...b 又a*2b^2+a*2c^2+b*2c^2=a^2-2(abca+abcb+abcc)=a^2-2abc(a+b+c)=-1/12 ...c 所以a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2c=25/6
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