又一个数论问题

设:p是一个素数,n是一个自然数,则p能整除(n^p-n).
这个命题是正确的吗?如果是,请给个简单的证明.
谢谢!

(n^p-n) 意思是:n的p次方,再减去n.

呵呵，我又来了哦。看来你对数论很感兴趣啊，其实我也是的。对你的问题我们可以分两种情况加以讨论。情形一：n和p不互素。这种情况最简单。因为p是素数啊，这样n和p不互素的话必定有p能整除n,即存在整数k，使得n=kp,那么n^p-n 当然能被p整除啦，呵呵。情形二：如果n和p是互素的，那么初等数论（建议你找些相关的书来读读）中有一个非常著名的费马（一个法国业余数学家，被成为业余数学之王）小定理：p是素数，n和p互素，那么有n^(p-1)≡1（mod p）这是一个同余式，等价的意思是n^(p-1)-1能被p整除。有了这个定理，那么(n^p-n)＝n[n^(p-1)-1],它当然能被p整除啦，哈哈。综合上面的讨论就得出证明了。证明完毕，关于费马小定理的证明过程其实也不太难，你可以在相关的数论资料上找到，当然实在找不到我到时候再弄给你。^_^

这个命题成立 简单证明： 预备定理 1： 如果 p 是素数，那么 C(p,k) 一定能被 p整除。C(p,k)表示从p个对象中取出 k个对象的组合数。 预备定理2：当一个定理对n成立时，如果对n+1也成立，则定理对所有自然数成立。此为数学归纳法。 预备定理3：二项式展开定理展开(n+1)^p。既然你有水平出这样的题目，这个预备定理我就不需要细说了吧。你应该不是小学生了。