如何证明样本方差的期望等于总体方差

如何证明样本方差的期望等于总体方差

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为
Y = (X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为
S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1)
为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A
则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))
=E((X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )
注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;
VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2
VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）
所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)
= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)
= (n-1) VarX
所以 E S = VarX;得证。

证明得很好，如果能用西格玛求和符号表示，书写将更方便一些。
有一个新的问题：
(1/n)* (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2)-Y^2
为什么=(1/n)*（西格码i=1到n)[(Xi-Y)^2]=S
虽然它为你化简的逆问题，但是很难看出来了。你能更简单的证明一下上式吗？
设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为
Y = (X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为
S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1)
为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A
则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))
=E((X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )
注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;
VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2
VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）
所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)
= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)
= (n-1) VarX
所以 E S = VarX;得证。 其中的Y和S均为你回答中的那个表达式。
总体方差为σ²,均值为μ
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)
X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n
设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2
E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]
=E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]
而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ²+μ²
E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ²/n+μ²
所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]
=n(σ²+μ²)-n(σ²/n+μ²)
=(n-1)σ²
所以为了保证样本方差的无偏性
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)
E(S)=(n-1)σ²/(n-1)=σ²