O是锐角三角形ABC的外心，AO,BO,CO分别交对边于L,M,N,则AO:AL+BO:BM+CO:CN=
答案:2 悬赏:20
解决时间 2021-02-27 03:11
- 提问者网友：放荡不羁
- 2021-02-26 09:52
O是锐角三角形ABC的外心，AO,BO,CO分别交对边于L,M,N,则AO:AL+BO:BM+CO:CN=
最佳答案
- 二级知识专家网友：情战凌云蔡小葵
- 2021-02-26 10:47
过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F。
∵OE⊥BC，AF⊥BC，∴OE∥AF，∴△OEL∽△AFL，∴OL∶AL＝OE∶AF。
△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，∴OE∶AF＝△OBC的面积∶△ABC的面积，
∴OL∶AL＝△OBC的面积∶△ABC的面积，
∴（1－OL∶AL）＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积
∴（AL－OL）∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积
∴AO∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积。······①
同理，有：BO∶BM＝1－△OAC的面积∶△BAC的面积，······②
CO∶CN＝1－△OAB的面积∶△CAB的面积。······③
①＋②＋③，得：
AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－（△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积）∶△CAB的面积
而△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积＝△CAB的面积
∴AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－1＝2。
注：△ABC为任意三角形，且点O为△ABC内任意一点，都有：AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝2。
∵OE⊥BC，AF⊥BC，∴OE∥AF，∴△OEL∽△AFL，∴OL∶AL＝OE∶AF。
△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，∴OE∶AF＝△OBC的面积∶△ABC的面积，
∴OL∶AL＝△OBC的面积∶△ABC的面积，
∴（1－OL∶AL）＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积
∴（AL－OL）∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积
∴AO∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积。······①
同理，有：BO∶BM＝1－△OAC的面积∶△BAC的面积，······②
CO∶CN＝1－△OAB的面积∶△CAB的面积。······③
①＋②＋③，得：
AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－（△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积）∶△CAB的面积
而△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积＝△CAB的面积
∴AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－1＝2。
注：△ABC为任意三角形，且点O为△ABC内任意一点，都有：AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝2。
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- 1楼网友：旧事诱惑
- 2021-02-26 12:05
2
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