不定方程的简单例题

不定方程的简单例题

例1 求11x+15y=7的整数解．
解法1 将方程变形得11x=7-15y
因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为x0=2,y0=-1
解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得
11×（-4)+15×⑶=1，
所以
11×（-4×7)+15×（3×7)=7，
可取x0=-28，y0=21．从而
可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．
例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．
解 因为（6，22)=2，所以方程两边同除以2得
3x+11y=45． ①
由观察知，x1=4，y1=-1是方程
3x+11y=1 ②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．
当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是
例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．
分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．
解 用方程
7x+19y=213 ①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．T儆*5除此式的两边得
2u+5v=3． ④
由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为
由于要求方程的正整数解，所以
解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为
当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．
例4 求方程37x+107y=25的整数解．
解 107=2×37+33，
37=1×33+4，
33=8×4+1．
为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
=37-9×（37-33)=9×33-8×37
=9×（107-2×37)8×37=9×107-26×37
=37×（-26)+107×9．
由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是
x0=25×（-26)=-650，y0=25×9=225
是方程37x+107y=25的一组整数解．
所以原方程的一切整数解为
例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？
解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是
7x+5y=142. ①
所以
由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5|2(x-1）．因为（5，2)=1，所以5|x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为
所以，共有4种不同的支付方式．
说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．
例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．
解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为
用前面的方法可以求得①的解为
②的解为
消去t，得
大约1500年以前，中国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．
例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组
①化简得 15x+9y+z=300． ③
③-②得 14x+8y=200，
即 7x+4y=100．
解7x+4y=1得
于是7x+4y=100的一个特解为
由定理知7x+4y=100的所有整数解为
由题意知，0由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足
x+y+z=100．
t x y z
26 4 18 78
27 8 11 81
28 12 4 84
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．

37x+107y=25，
解y=（25-37x）/107=（25-37x'）/（-4）=（-12-37x''）/（-4）=3-37x'''
代入原式得x通式=-8+107x'''