如图所示,在平面直角坐标中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4;矩形ABCD
答案:1 悬赏:10
解决时间 2021-03-01 01:39
- 提问者网友:唤魂
- 2021-02-28 09:33
如图所示,在平面直角坐标中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4;矩形ABCD的边BC在线段的OM上,点A、D在抛物线上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)设D(m,n),矩形ABCD的周长为l,写出l与m的关系式,并求出l的最大值;(3)点E在抛物线的对称轴上,在抛物线上是否还存在点F,使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,写出F点的坐标.
最佳答案
- 二级知识专家网友:不服输的倔强
- 2021-02-28 10:05
(1)∵抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4,
∴顶点P的横坐标为4÷2=2,M的坐标为(4,0),
∵顶点P到x轴的距离是4,
∴顶点P的纵坐标为4,
∴顶点P的坐标为(2,4),
设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+4,
则a(4-2)2+4=0,
解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4,
即y=-x2+4x;
(2)∵D(m,n)在抛物线上,
∴n=-m2+4m,BC=4-2m,
∴矩形ABCD的周长为l=2(4-2m+n),
=2(4-2m-m2+4m),
=-2(m2-2m+1)+10,
=-2(m-1)2+10,
即l=-2(m-1)2+10,
∴当m=1时,周长l有最大值10;
(3)①OM是平行四边形的边时,点F的横坐标为2-4=-2,
纵坐标为:-(-2)2+4×(-2)=-4-8=-12,
此时,点F(-2,-12),
或点F的横坐标为2+4=6,
纵坐标为:-62+4×6=-36+24=12,
此时,点F(6,-12),
②OM是平行四边形的对角线时,EF所在的直线经过OM的中点,
∴EF都在抛物线的对称轴上,
∴点F与点P重合,
此时,点F(2,4),
综上所述,点F(-2,-12)或(6,-12)或(2,4)时,以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形.
∴顶点P的横坐标为4÷2=2,M的坐标为(4,0),
∵顶点P到x轴的距离是4,
∴顶点P的纵坐标为4,
∴顶点P的坐标为(2,4),
设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+4,
则a(4-2)2+4=0,
解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4,
即y=-x2+4x;
(2)∵D(m,n)在抛物线上,
∴n=-m2+4m,BC=4-2m,
∴矩形ABCD的周长为l=2(4-2m+n),
=2(4-2m-m2+4m),
=-2(m2-2m+1)+10,
=-2(m-1)2+10,
即l=-2(m-1)2+10,
∴当m=1时,周长l有最大值10;
(3)①OM是平行四边形的边时,点F的横坐标为2-4=-2,
纵坐标为:-(-2)2+4×(-2)=-4-8=-12,
此时,点F(-2,-12),
或点F的横坐标为2+4=6,
纵坐标为:-62+4×6=-36+24=12,
此时,点F(6,-12),
②OM是平行四边形的对角线时,EF所在的直线经过OM的中点,
∴EF都在抛物线的对称轴上,
∴点F与点P重合,
此时,点F(2,4),
综上所述,点F(-2,-12)或(6,-12)或(2,4)时,以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形.
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