证明∫（sinx/x）dx 在[0,π/2]的定积分估值。
答案:1 悬赏:40
解决时间 2021-04-27 06:03
- 提问者网友：心裂忍耐
- 2021-04-27 03:01
证明∫（sinx/x）dx 在[0,π/2]的定积分估值。
最佳答案
- 二级知识专家网友：温柔刺客
- 2021-04-27 04:39
先证明：当0<x<Pi/2时, 2/Pi < sinx /x < 1
则 1<∫[0,π/2]（sinx/x）dx < π/2
不等式sinx /x < 1即 sinx<x.成立
不等式sinx /x > 2/π,用导数证明，令f(x)=sinx -2x/π,求导f'(x)=cosx-2/π 得驻点x0=arccos(2/π)，讨论单调性，当0<x<x0,f'(x)>0,当x0<x<2/π,f'(x)<0, 又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0，从而f(x)>0.
则 1<∫[0,π/2]（sinx/x）dx < π/2
不等式sinx /x < 1即 sinx<x.成立
不等式sinx /x > 2/π,用导数证明，令f(x)=sinx -2x/π,求导f'(x)=cosx-2/π 得驻点x0=arccos(2/π)，讨论单调性，当0<x<x0,f'(x)>0,当x0<x<2/π,f'(x)<0, 又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0，从而f(x)>0.
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