什么是“百鸡问题”？

什么是“百鸡问题”？

在公元5世纪，我国一部数学著作《张邱建算经》里，有一个著名的数学问题：设公鸡每只价5元，母鸡每只价3元，小鸡3只价1元。今用100元钱买鸡100只，问买公鸡、母鸡、小鸡各多少只?在数学史上，这类问题就叫做“百鸡问题”。百鸡问题怎样解决呢?设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，那么，根据已知条件列方程，有：x+y+z=100， ①5x+3y+1/3z=1000 ②在代数里，我们学过了多元一次方程组的解法。但在那里方程的个数与未知数的个数是相同的，方程组通常只有唯一的一组解。而百鸡问题则不同，它所含的方程个数少于未知数的个数。像这种方程个数少于未知数个数的问题，叫做不定方程问题。因此，百鸡问题就是一个一次不定方程求整数解的问题。一般地说，不定方程有无穷多组解。《张邱建算经》没有记载百鸡问题的具体解法，只是给出了三组答案：（1） x=4，y=18，z=78（2） x=8，y=11，z=81（3）x=12，y=4，z=84并且说:公鸡每增加4只，母鸡要减少7只，小鸡增加3只。我们来看一看这些结论是怎样得到的。②×3-①，得14x+8y=200，或者7x+4y=1000 ③在③式中，竹和100都是4的倍数，或者1x-100-Ay=4(25-j),因此，也是4的倍数，也就是说，％必须是4的倍数。我们可以顺次设^=4,8,12,并且相应地求出y=18，11，4，z=78,81，84。因为根据题意，x、y、z必须是小于100的正整数，所以，不定方程尽管可以有无穷多组解，但在百鸡问题中只能取上述三种答案。