若数列{an}的前n项和为Sn，有下列命题：（1）若数列{an}的极限存在但不为零，则数列{Sn}的极限一定不存在

若数列{an}的前n项和为Sn，有下列命题：
（1）若数列{an}的极限存在但不为零，则数列{Sn}的极限一定不存在；
（2）无穷数列{S2n}、{S2n-1}的极限均存在，则数列{Sn}的极限一定存在；
（3）若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1?S2?…?Sk=O的充要条件是a1?a2?…?ak=O；
（4）若{an}是等比数列，则S1?S2?…?Sk=O（k≥2）的充要条件是an+an+1=0．
其中，错误命题的序号是（　　）

A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（3）（4）
D．（1）（4）

（1）假设数列{Sn}的极限存在，则
lim
n→∞ Sn＝
lim
n→∞ Sn?1，∴
lim
n→∞ an＝
lim
n→∞ (Sn?Sn?1)=
lim
n→∞ Sn?
lim
n→∞ Sn?1=0，则与数列{an}的极限存在但不为零相矛盾，因此数列{Sn}的极限一定不存在正确；
（2）若无穷数列{S2n}、{S2n-1}的极限均存在，但是不相等，则数列{Sn}的极限一定不存在，否则矛盾；
（3）举反例：等差数列：6，4，2，0，-2，-4，-6．a1a2a3a4=0推不出S1S2S3S4=0；
同样对于等差数列：6，2，-2，-6．S1S2S3S4=0，推不出a1a2a3a4=0．
因此对于：{an}是等差数列（公差d≠0），则S1?S2?…?Sk=O是a1?a2?…?ak=O既不充分也不必要条件；因此不正确．
（4）∵{an}是等比数列，an+an+1=0?an（1+q）=0（q为公比）?q=-1?Si＝
a1[1?(?1)i]
2 =0，当i为偶数时?S1?S2?…?Sk=O（k≥2）．正确．
综上可知：只有（2）（3）是错误的．

sn一般通式为 sn=pn²+qn 当且仅当p=q=0，sn有极限 由此可知数列a1=0，d=0