已知f(x)=lnx+1/x+ax(a∈R),求f(x)在[2,+∞),上是单调函数时a的取值范围

要详细过程哦~

f′（x)=1/x-1/x^2+a=(ax^2+x-1)/x^2
设h(x)=ax^2+x-1,要使f(x)在[2,+∞),上是单调函数，
只须（1）h(x)=ax^2+x-1>0,对于X∈［2，+∞）恒成立。
当a=0时，显然成立。
当a>0时，由二次函数的图象知，须满足条件-1/2a<2,且h(2)>=0,解得a>0
(2)若f(x)为单调减函数，则h(x)=ax^2+x-1<0,对于X∈［2，+∞）恒成立
a<0,h(2)<=0,-1/2a<=2,得a〈＝-1/4
综上，a的范围是[0,+∞）∪（-∞-1／4）

要判断单调性，利用函数的导数 f'(x)=-2x+a-1/x 由于f(x)在(1/2,2)上单调 所以f'(x)在(1/2,2)上恒为非正或恒为非负 那么，我们需要找到f'(x)=-2x+a-1/x在(1/2,2)上的值域 可以利用均值不等式或者再求导来解决，这里再求导 f''(x)=-2+1/x² 可以看出，f''(1/2)>0然后f'‘(√2/2)=0，之后＜0 即f'(x)先增加，在√2/2达到最大，然后再减小 所以f'(x)最大值为f'(√2/2)=a-2√2 f'(1/2)=a-3，f'(2)=a-9/2所以f'(x)最小值为f'(2)=a-9/2 所以f'(x)恒非负的话，a-9/2≥0 f'(x)恒非正的话，a-2√2≤0 所以a的取值范围为a≥9/2或者a≤2√2