3^a+7^b为完全平方数，求所有整数对（a,b)

3^a+7^b为完全平方数，求所有整数对（a,b)

以下分析的a,b,m均为非负整数;n为正整数

根据完全平方数的性质1可知完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9

3^a 当a=4n-4时末位数为1
当a=4n-3时末位数为3
当a=4n-2时末位数为9
当a=4n-1时末位数为7
现在来分析3^a的十位数上的数.
根据完全平方数的性质2可知奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数
当a为偶数时3^a就可视为某个奇数的平方则其十位数字为偶数
当a为奇数时3^a=[3^(a-1)]*3则3^(a-1)可视为某个奇数的平方则其十位数字为偶数与3的乘积就为偶数其末位数与3的乘积也为偶数则可得当a为奇数时3^a的十位数字为偶数
那么可知3^a的十位数上的数为偶数

同理
7^b 当b=4n-4时末位数为1
当b=4n-3时末位数为7
当b=4n-2时末位数为9
当b=4n-1时末位数为3
其十位数上的数为偶数

那么3^a+7^b若为完全平方数则其末位数为0,4或6

末位数为0说明是100的倍数则3^a,7^b的十位数有一个为奇数显然不符舍去

末位数为4则这个数只能是(10m+2)^2或(10m+8)^2
1)(10m+2)^2=100m^2+40m+4由末位数为0的解法可知m不为5的倍数我们只要取m<10的情形就可
m=0则3^a+7^b=4得出a=1,b=0
m=1则3^a+7^b=144则a,b无整数解
m=2则3^a+7^b=484则a,b无整数解
m=3则3^a+7^b=1124则a,b无整数解
m=4则3^a+7^b=1744则a,b无整数解
m=6则3^a+7^b=3844则a,b无整数解
m=7则3^a+7^b=5184则a,b无整数解
m=8则3^a+7^b=6724则a,b无整数解
m=9则3^a+7^b=8364则a,b无整数解
2)(10m+8)^2=100m^2+160m+64=(100m^2+100m)+60(m+1)+4由末位数为0的解法可知(m+1)不为5的倍数.同理可得a,b无整数解
则当末位数为4,a=1,b=0

末位数为6则这个数只能是(10m+4)^2或(10m+6)^2
同理可得a=2,b=1

综上所述3^a+7^b为完全平方数,a,b的整数解为a=1,b=0或a=2,b=1

1,0
2,1
就这两组了。

做不到！
好象是无限个吧！！
我证不了它有限

a=2,b=1;
我用C++实现的，代码为：
#include
#include
void main()
{
for(int i=2;i<1000;i++)
for(int j=1;j for(int k=1;k if(i*i==pow(3,j)+pow(7,k))
printf("%d %d %d",i,j,k);

}
这样的题目，估计只能一个个套，从平方开始，然后再试7的N次方和3的n次方.挺麻烦的，，，，