复数能比较大小吗？

一、问题背景 从数的扩充原则来看，我们自然希望把实数之间的大小关系扩充到复数集上去．同时需要保留原来大小关系所具有的通常必备的一些性质．这样，把原来数集上的大小关系扩充到新数集上去的问题包括两个方面的内容．一方面是能否在 原来数集上的大小关系的基础上，建立新数集上的大小关系，并使其满足顺序律；另一方面是新数集上的这种大小关系能否保留一些通常必备的性质．所谓通常必备的性质是指数的大小与数的运算之问相联系的两条性质．即所谓的单调性： 若 为任意复数 若 就前几次扩充数集(从自然数到整数，从整数到有理数，从有理数到实数)的结果来看，这两个方面的要求都得到了肯定的解决．也就是说，在新数集里不仅能在原有的基础上建立起满足顺序律的大小关系，而且，这种数的大小关系与数的运算联系起来考虑也还具有上面提到的两个单调性． 现在对复数集来说，情形就不完全一样了． 二、复数集是有序集 首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办法还不止一种．例如，对任意的两个复数a+bi与c+di，我们规定： 若a<c，就算a+bi<c+di， 若a=c，但b<d，就算a+bi<c+di． 用语言叙述就是，两个复数当中实数部分大者，该复数就大；实数部分相等，而虚数部分的系数大者该复数就大． 如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满足所强调的顺序律． 三、复数集不是有序域（即不能在复数集上建立大小关系） 但是，问题在于上述这种相当自然的大小关系与复数运算之间的联系已经出现不够和谐的现象．即已不可能维持所谓的单调性．这是很容易指出的．比如，按照这里的规定，对于i与o应有

0<i．

于是，如果关于乘法具有单调性的话，那么就有

这与已经规定好的-l<o相矛盾．这就说明，上面规定的复数之间的相当自然的大小关系不能保持关于乘法的单调性． 其实，我们可以一般地证明，复数集上的任何一种大小关系(当然是满足顺序律的大小关系)都必须放弃对单调性的要求．换句话说，在复数集上不存在满足以下四个条件的大小关系： 1)对任意两个复数与与 ，下列三个关系有且只有一个成立：

2)若α<β, β<γ，则α<γ． 3)若α<β，γ为任意复数 4) 若α<β，γ>o 事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系“<”，它同时满足以上四个条件． 我们考查o与i这两个复数．由条件1)，必有 o<i 或者 i<0． 于是，如果0<i，那么由条件4)，则有 o·i<i·i，即0<-1． 再由条件4)，可得 0·(-1)<(-1)·(-1), 即0<1. 从而，由条件3) ，又得 0+1<(-1)+1, 即0<1. 这样导致0<1与1<0同时成立．当然，这是条件1)所不容许的． 故而i<0也是不可能的． 总之，在复数集上确实没有能使上述四个条件都被满足的大小关系． 概括以上讨论，对于复数之间的大小比较问题，结论是：有满足条件1)与2)的大小比较方法；没有使上述1)到4)这四个条件同时具备的大小关系． 四、尊重客观规律 这样的结论似乎是令人不无遗憾的．但是，客观规律是不以人们的意志为转移的，人们只能接受客观规律，认识客观规律和运用客观规律．不过，只要不是过于保守的话，承认摆在我们面前的新事物也并不困难．因为任何事物的发生与发展都是在继承的同时，在“弃旧扬新”的过程中进行的．现在是这样，将来也还是这样．