已知函数f（x）=2x/x+1，数列（an}满足a1=2/3，an+1=f（an）（1）数列（bn）满足

bn=an/1-an（n∈n*），证明{bn}为等比数列，并求通项（2）数列{Cn}满足于Cn=（n+1）/bn，求数列的前n项和sn

（1）a(n+1)=f(an)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/2an
1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
因为a1=2/3，所以1/a1-1=1/2
即{1/an-1}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列
1/an-1=(1/2)^n
1/an=(1+2^n)/2^n
an=2^n/(1+2^n)=1-1/(1+2^n)
bn=an/(1-an)=[2^n/(1+2^n)]/[1/(1+2^n)]=2^n
即{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）cn=(n+1)/bn=(n+1)/2^n
-2cn=-(n+1)/2^(n-1)
cn-2c(n-1)=(n+1)/2^n-n/2^n=1/2^n
c(n-1)-2c(n-2)=1/2^(n-1)
......
c3-2c2=1/2^3
c2-2c1=1/2^2
c1=1
上述式子相加，得：
(c1+c2+...+cn)-2(c1+c2+...+cn)=1+(1/4)*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(n+1)/2^(n-1)
-Sn=3/2-(2n+3)/2^n
Sn=(2n+3)/2^n-3/2

an+1=f(an),则有a(n+1)=an/(2an+1),两边取倒数， 1/a(n+1)=(2an+1）/an=2+1/an 则有1/a(n+1)-1/an=2 令cn=1/an 则cn-c(n+1)=2(等差数列，公差为2，首项为c1=1/a1=1) 有cn=1+2(n-1)=2n-1 则an=1/(2n-1) bn+1=1/1-2f（sn）化简有 b(n+1)=2sn+1 sn=[b(n+1)-1]/2,则当n>1时， bn=sn-s(n-1)=[b(n+1)-1]/2-[bn-1]/2=[b(n+1)-bn]/2 b(n+1)=3bn(bn为等比数列，首项为b2=2，公比为3) bn=2*3^(n-2)(n>1)(b1=1/2) tn=1/a1b1+1/a2b2+...+1/anbn 1/3tn=... 则tn-1/3tn=2-2/3+3/2+[1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)]-(2n-1)/2*3^(n-1) tn-1/3tn=2-2/3+3/2+[1-(1/3)^(n-2)]/2-(2n-1)/2*3^(n-1) 当n取到无穷的时候是tn最大的时候，此时有 2/3tn=2-2/3+3/2+1/2-2(2n-1)/3^(n-1)<10/3 t<5

（1）1/a<n+1>=(an+1)/(2an)=(1/2)(1+1/an), ∴1/a<n+1>-1=(1/2)(1/an-1), 1/bn=(1-an)/an=1/an-1,1/b1=1/2, ∴1/bn=(1/2)^n,bn=2^n, ∴b<n+1>/bn=2,{bn}为等比数列。 （2）Sn=2/2+3/2^2+……+（n+1)/2^n, .......Sn/2=......2/2^2+……+n/2^n+(n+1)/2^(n+1), 相减得Sn/2=1+1/2^2+……+1/2^n-(n+1)/2^(n+1) =1+[1/2^2-1/2^(n+1)]/(1-1/2)-(n+1)/2^(n+1), ∴Sn=2+1/4-1/2^(n+1)-2(n+1)/2^(n+1) =9/4-(2n+3)/2^(n+1).