圆的重要定理

【圆的定义有两个 】
其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。 
其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

【有关圆的基本性质与定理】
 ⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。 
 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 
 ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 
 ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 
 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等； 
 ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 
 ③r=2s△÷l（r：内切圆半径，s：三角形面积，l：三角形周长） 
 ④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线） 
 ⑤圆o中的弦pq的中点m，过点m任作两弦ab，cd，弦ad与bc分别交pq于x，y，则m为xy之中点。 
 （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。 
 （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 
 （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 
 （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 
 （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 
 （9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 
【有关切线的性质和定理】
 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 
 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 
 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 
 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。 
 〖有关圆的计算公式〗 
 1.圆的周长c=2πr=πd 2.圆的面积s=πr²; 3.扇形弧长l=nπr/180 
 4.扇形面积s=(nπr²)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积s=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 
 切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于c点，割线交圆于a b两点 ， 则有pc²=pa•pb 
 割线定理 与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于a1 b1两点，割线n交圆于a2 b2两点 
 则pa1•pb1=pa2•pb2 

【圆的解析几何方程】
 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点o（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²。 
 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x²+y²+dx+ey+f=0(其中d²+e²-4f＞0）。其中和标准方程对比，其实d=-2a，e=-2b，f=a²+b²-r²。该圆圆心坐标为（-d/2,-e/2)，半径r=0.5√d²+e²-4f。 
 圆的参数方程：以点o（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 
 圆的端点式：若已知两点a(a1,b1),b(a2,b2)，则以线段ab为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 
 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 
 经过圆 x²+y²=r²上一点m（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r² 
 在圆(x²+y²=r²)外一点m（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为a,b，则a,b两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r² 
【圆与直线的位置关系判断】
 平面内，直线ax+by+c=0与圆x²+y²+dx+ey+f=0的位置关系判断一般方法是： 
 1.由ax+by+c=0，可得y=（-c-ax）／b，（其中b不等于0），代入x²+y²+dx+ey+f=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b²-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 
 如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 
 如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 
 如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 
 2.如果b=0即直线为ax+c=0，即x=-c／a，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+dx+ey+f=0化为(x-a)²+(y-b)²=r²。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 
 当x=-c／a<x1或x=-c／a>x2时，直线与圆相离； 
 当x1<x=-c／a<x2时，直线与圆相交； 
 半径r，直径d 
 在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)²+(y-b)²=r² 
 x²+y²+dx+ey+f=0 
 => (x+d/2)²+(y+e/2)²=d²/4+e²/4-f 
 => 圆心坐标为(-d/2,-e/2) 
 其实只要保证x方y方前系数都是1 
 就可以直接判断出圆心坐标为(-d/2,-e/2) 
 这可以作为一个结论运用的 
 且r=根号（圆心坐标的平方和-f）