若1*2*3……*n+3是一个自然数的平方,试确定n的值

若1*2*3……*n+3是一个自然数的平方,试确定n的值

n=1 时，1＋3＝2x2
n＝3时， 1×2×3＋3 ＝ 3×3

设k=1*2*3……*n+3=m*m 当n=1时：1+3=4=2*2 当n=2时，不合题意 当n=3时：6+3=9=3*3 当n=4时，不合题意 当n大于等于5时，n的阶乘尾数为0.即k的尾数为3，而平方数的尾数只能为1、4、5、6、9不合题意。 故满足题意的n只能为1和3

n=1和n=3成立，当n大於等於4的时候，n!+3除4余3，而完全平方数必然是除4余1或者被4整除，这样就保证了没有别的值存在。

对任意偶数2k,其平方4k^2必能被4整除,对任意奇数2k+1,其平方4k^2+4k+1被4整除余1,由于当n≥4,1*2*3……*n+3被4除余3,故当n≥4时,1*2*3……*n+3不可能是一个自然数的平方. 将n=1,2,3代入知 1+3=4=2^2 1*2*3+3=9=3^2 故n=1,或n=3.