一元三次方程的公式解

一元三次方程的公式解

一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
　　重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
　　总判别式：Δ=B^2－4AC。
　　当A=B=0时，盛金公式①：
　　X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
　　当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
　　X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
　　X(2，3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；
　　其中Y(1，2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
　　X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2，
　　其中K=B/A，(A≠0)。
　　当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
　　X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；
　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)

　　①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
　　②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
　　③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
　　④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

三次方程在7世纪初就有所记载，但在上千年的岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。1500年波伦亚的数学教授菲络终于找到了形如x3+px+q=0 的三次方程的一般解法，但他向外保密，只传给他的一个学生。在菲洛死后近十年，这个学生以这个问题向当时意大利数学家塔塔里挑战。塔塔里亚也找到方程x3+px+q=0 的解法，但不肯公布推导过程，这个事为数学物理教授卡丹所知，便要求塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密的情况下，将证明方法告诉卡丹，但卡丹很快将这个解法发表在他的一本书中，三次方根的求根公式现在仍称为卡丹公式。最近我在一次作业中就用到了这个公式，在网上搜索，但是都没找到完整的表达，下面的就是我在学校图书馆一美国佬编写的工程数学手册中查到的，竟然我们的数学巨著《数学辞海》中都没有收录，很无奈！ ay3+by2+cy+d=0 (a不等于0) 令y=x-b/(2a),就可以化成 x3+px+q=0 其中: p=(3*a*c-b*b)/(3*a*a); q=(2*b3-9*a*b*c+27*a2*d)/(27*a3); h=(q/2.0)2+(p/3.0)3; u=((-q/2+h0.5))1/3; v=((-q/2-h0.5))1/3; y1=u+v; y2=-(u+v)/2+30.5(u-v)i/2; y3=-(u+v)/2-30.5(u-v)i/2; 如果a,b,c是实数，并且h>0,则存在一个实根和两个共轭复根；h＝0，则存在三个实根，其中至少有两个等根；h<0，则存在三个相异的实根，且有下面的三角公式： 其中:Φ=arccos(-(q/2)/(|p|3/27);y3=-2*(|p|/3)0.5cos((Φ-π)/3);y2=-2*(|p|/3)0.5cos((Φ+π)/3);y1=2*(|p|/3)0.5cos(Φ/3); Cardano（1501～1576）生於义大利 Pavia，卒於罗马，是义大利米兰的学者。现在我们称三次方程的求根公式叫作「Cardano 公式」，这公式其实不是 Cardano 发现的，而是他在1539年从别人那里骗到的，把它写入《Ars Magna》（大衍术）书中。他有多方面的才干，曾写过一本机率对局的书，这是有关机率论最早的一本书。他性喜赌博，因而对机率产生了兴趣。 一元三次方程的解法的历史 人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛?冯塔纳（Niccolo Fontana）。 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia）， 也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学发展而言，是一种不负责任的态度。

一元三次方程ax^3＋bx^2＋cx＋d=0，（a，b，c，d∈r，且a≠0）。<br>　　重根判别式：<br>　　a=b^2－3ac；<br>　　b=bc－9ad；<br>　　c=c^2－3bd，<br>　　总判别式：<br>　　δ=b^2－4ac。<br>　　当a=b=0时，盛金公式①（whena=b=0，shengjin’s formula①）<b>：</b><br>　　x1=x2=x3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。<br>　　当δ=b^2－4ac&gt;0时，盛金公式②（whenδ=b^2－4ac&gt;0，shengjin’s formula②）：<br>　　x1=(－b－(y1)^(1/3)－(y2)^(1/3))/(3a)；<br>　　x2，3=(－2b＋(y1)^(1/3)＋(y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((y1)^(1/3)－(y2)^(1/3))i/(6a)，<br>　　其中y1，2=ab＋3a(－b±(b^2－4ac)^(1/2))/2，i^2=－1。<br>　　当δ=b^2－4ac=0时，盛金公式③（whenδ=b^2－4ac =0，shengjin’s formula③）：<br>　　x1=－b/a＋k；<br>　　x2=x3=－k/2， <br>　　其中k=b/a，(a≠0)。<br>　　当δ=b^2－4ac&lt;0时，盛金公式④（whenδ=b^2－4ac&lt;0，shengjin’s formula④）：<br>　　x1=(－b－2a^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；<br>　　x2，3=(－b＋a^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，<br>  <p>　　其中θ=arccost，t= (2ab－3ab)/(2a^(3/2))，(a&gt;0，－1&lt;t&lt;1)。</p>  <p><a href="http://wenwen.soso.com/z/urlalertpage.e?sp=shttp%3a%2f%2fbaike.baidu.com%2fview%2f1382952.htm" target="_blank">http://baike.baidu.com/view/1382952.htm</a></p>