数列an的前n项和为sn 已知a1=1 an+1=n+2/n*sn 证明 Sn+1=4an

数列an的前n项和为sn 已知a1=1 an+1=n+2/n*sn 证明 Sn+1=4an

a(n+1)=(n+2)/n*sn 得sn=n/(n+2)*a(n+1)
an=(n+1)/(n-1)*s(n-1) 得s(n-1)=(n-1)/(n+1)*an
两式相减得 an=n/(n+2)*a(n+1)-(n-1)/(n+1)*an
2n/(n+1)*an=n/(n+2)*a(n+1) 得a(n+1)/an=2*(n+2)/(n+1)
所以an/a(n-1)=2*(n+1)/n
a2/a1=2*3/2
a3/a2=2*4/3
..........
an/a(n-1)=2*(n+1)/n
所有公式相乘得
an/a1=2^(n-1) *(n+1)/2n
通项公式an=2^(n-2) *(n+1)
得a(n+1)=2^(n-1) *(n+2)带入a(n+1)=(n+2)/n*sn
得2^(n-1) *(n+2)=(n+2)/n*sn
得sn=n* 2^(n-1) 所以s(n+1)=(n+1)* 2^n
s(n+1)/an=4

1、a(n+1)=(n+2)sn/n=s(n+1)-sn 即ns(n+1)-nsn=(n+2)sn ns(n+1)=(n+2)sn+nsn ns(n+1)=(2n+2)sn s(n+1)/(n+1)=2sn/n 即s[(n+1)/(n+1)]/[sn/n]=2 s1/1=a1=1 所以sn/n是以2为公比1为首项的等比数列 2、由1有sn/n是以2为公比1为首项的等比数列 所以sn/n的通项公式是sn/n=1*2^(n-1) 即sn=n2^(n-1) 那么s(n+1)=(n+1)2^n,s(n-1)=(n-1)2^(n-2) an=sn-s(n-1) =n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2) =n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2) =[2n-(n-1)]*2^(n-2) =(n+1)2^(n-2) =(n+1)*2^n/2^2 =(n+1)2^n/4 =s(n+1)/4 所以有s(n+1)=4an