高中文科数学所有三角函数的推导公式哪些?

高中文科数学所有三角函数的推导公式哪些?

a/sinA=b/sinB=c/sinCa^2=b^2+c^2-2bccosAb^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosC还有的记不得了、、   　　在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角‍函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。 　　这些函数的值参见右图： 　　    三角函数的特殊值‍ 同角三角函数关系式 　　 平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1 　　cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1- 2sin^2(a)=2cos^2(a)-1　sin(2a)=2sin(a)cos(a) 　　tan^2(α)+1=1/cos^2(α) 　　2sin^2(a)=1-cos(2a) 　　cot^2(α)+1=1/sin^2(a) 积的关系　sinα=tanα×cosα 　　cosα=cotα×sinα 　　tanα=sinα×secα 　　cotα=cosα×cscα 　　secα=tanα×cscα 　　cscα=secα×cotα倒数关系　tanα ·cotα＝1 　　sinα ·cscα＝1 　　cosα ·secα＝1商的关系　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα 　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα   三角函数直角三角    三角函数形ABC中, 　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边, 　　·对称性 　　180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。 　　-α的终边和α的终边关于x轴对称。 　　180度+α的终边和α的终边关于原点对称。 　　90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。 诱导公式 　　 公式一： 　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 　　k是整数　sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ＋α）＝cosα 　　tan（2kπ＋α）＝tanα 　　cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα 　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα 公式三： 　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα 　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα 公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系　sin（π－α）＝sinα 　　cos（π－α）＝－cosα 　　tan（π－α）＝－tanα 　　cot（π－α）＝－cotα 公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系　sin（2π－α）＝－sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝－tanα 　　cot（2π－α）＝－cotα公式六： 　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系　sin（π/2＋α）＝cosα 　　cos（π/2＋α）＝－sinα 　　tan（π/2＋α）＝－cotα 　　cot（π/2＋α）＝－tanα 　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα 　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα 　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα 　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα 　　tan（3π/2－α）＝cotα 　　cot（3π/2－α）＝tanα　诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） 　　
sinβcosβ　tanβcotβsecβcscβ2kπ+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα(1/2)kπ-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα(1/2)kπ+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecαkπ-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscαkπ+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα(3/2)kπ-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα(3/2)kπ+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα2kπ-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα　定名法则 　　90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 　　定号法则 　　将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”　 　　2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。） 　　比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~ 　　还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα 两角和与差的三角函数 　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ 　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积公式 　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 积化和差公式 　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍角公式 　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) 　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2　 　　tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) 　　cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) 　　sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) 　　csc(2α)=1/2*secα·cscα 三倍角公式 　　sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) 　　cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) 　　tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) 　　cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1) n倍角公式 　　sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… 　　cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-… 半角公式 　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) 　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) 　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 　　cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) 　　sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) 　　csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) 辅助角公式 　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+arctan(B/A)) 　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-arctan(A/B)) 万能公式 　　sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 　　cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 　　tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 降幂公式 　　sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 　　cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 　　tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角和的三角函数 　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ 　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ 　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 其它公式 　　1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 　　csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 　　cos30°=sin60° 　　sin30°=cos60° 推导公式 　　tanα+cotα=2/sin2α 　　tanα-cotα=-2cot2α 　　1+cos2α=2cos^2α 　　1-cos2α=2sin^2α 　　1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2 其他及证明 　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 　　以及 　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx 　　证明： 　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx 　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差） 　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边 　　等式得证 　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 　　证明: 　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx) 　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) 　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 　　等式得证 　　三倍角公式推导 　　sin3a 　　=sin(2a+a) 　　=sin2acosa+cos2asina 　　=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina 　　=3sina-4sin^3a 　　cos3a 　　=cos(2a+a) 　　=cos2acosa-sin2asina 　　=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa 　　=4cos^3a-3cosa 　　sin3a=3sina-4sin^3a 　　=4sina(3/4-sin^2a) 　　=4sina[(√3/2)^2-sin^2a] 　　=4sina(sin^260°-sin^2a) 　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2] 　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 　　cos3a=4cos^3a-3cosa 　　=4cosa(cos^2a-3/4) 　　=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] 　　=4cosa(cos^2a-cos^230°) 　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 　　上述两式相比可得 　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)