如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，高AD与∠ABC的角平分线BE相较于F，求证△AFE为等边三角形

如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，高AD与∠ABC的角平分线BE相较于F，求证△AFE为等边三角形

证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°

∴∠ABC=∠BAC-∠C=90°-30°=60°

又∵∠ADB=90° ∴∠BAD=∠ADB-∠ABC=30°

∴∠FAE=∠BAC-∠BAD=60°

又BE是∠BAC的角平分线

∴∠EBC=30° ∴∠AEF=∠C+∠EBC=60°

在△AEF中，∠AEF=∠FAE=60°

∴△AFE为等边三角形

简单

∠B＝60，BE平分

则∠EBC=∠C=30

∠FEA=∠EBC+∠C=60

AD是高，则∠DAC与C互余，即∠DAC＝60＝∠FEA

所以△AEF是等边三角形

由已知得，角ABC=60°，因为BE平分角ABC，所以角ABE=30°，在直角三角形ABE中角AEB=60°，又因为角CBE=30°，所以在直角三角形ABD中角BFD=60°，也就是角AFE=60°，所以三角形AFE为等边三角形

∠fae=90-30=60

∠fea=30+30=60

∴△AFE为等边三角形

AD是高，∠ADC=90° ∵∠C=30°∠BAC=90°

∴∠DAC=60° ∠ABC=60°

∵BE是∠ABC的角平分线 ∴∠ABE=30°

∴∠AEF=60°

那么∠AFE=60°

所以△AFE是正三角形