设函数f(x)=a的平方lnx-x的平方+ax,a大于0
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解决时间 2021-10-17 05:50
- 提问者网友:鼻尖触碰
- 2021-10-16 14:57
求f(x)的单调区间
最佳答案
- 二级知识专家网友:第幾種人
- 2020-02-20 08:08
解:f(x)=a²lnx -x² +ax (a>0)且x>0
f‘(x)=a²/x -2x +a
令 f‘(x)=a²/x -2x +a>0得:0<x<a
所以 函数f(x)在(0,a)单调递增,在a到正无穷单调递减。
f‘(x)=a²/x -2x +a
令 f‘(x)=a²/x -2x +a>0得:0<x<a
所以 函数f(x)在(0,a)单调递增,在a到正无穷单调递减。
全部回答
- 1楼网友:旧脸谱
- 2020-06-25 15:09
函数应该是:f(x)=a^2*lnx-x^2-a^2+ax(a>0)
显然x>0(定义域)
(1)易知f'(x)=a^2/x-2x+a=-(x-a)(2x+a)/x
因x>0,a>0,则2x+a>0
当0a时,x-a>0,则f'(x)<0,即f(x)递减
所以f(x)的递增区间为(0,a)
f(x)的递减区间为(a,+∞)
(2)易知x=a为f(x)的极大值点
若a<1
则f(x)在区间[1,e]上递减
于是在区间[1,e]上f(x)min=f(e)=ea-e^2,f(x)max=f(1)=-a^2+a-1
要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立
则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立
即e-1≤ea-e^2≤-a^+a-1≤e^2恒成立
显然-a^2+a-1<0,上式不成立
若1≤a≤e
则f(x)在区间[1,e]上不单调
于是在区间[1,e]上f(x)min=min{f(1),f(e)}=min{-a^2+a-1,ea-e^2},f(x)max=f(a)=a^2(lna-1)
要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立
则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立
即e-1≤min{-a^2+a-1,ea-e^2}≤a^2(lna-1)≤e^2恒成立
显然a^2(lna-1)<0,上式不成立
若a>e
则f(x)在区间[1,e]上递增
于是在区间[1,e]上f(x)min=f(1)=-a^2+a-1,f(x)max=f(e)=ea-e^2
要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立
则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立
即e-1≤-a^2+a-1≤ea-e^2≤e^2恒成立
显然-a^2+a-1<0,上式不成立
综上知满足条件的实数a不存在
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