高中数学，已知a，b，c，d都是正数，求证：( √a^2+b^2)+(√c^2+d^2)≥√[（a+c）^2+(b+d)^2]
答案:1 悬赏:80
解决时间 2021-01-17 01:53
- 提问者网友：焚苦与心
- 2021-01-16 05:29
高中数学，已知a，b，c，d都是正数，求证：( √a^2+b^2)+(√c^2+d^2)≥√[（a+c）^2+(b+d)^2]
最佳答案
- 二级知识专家网友：等灯
- 2021-01-16 06:28
证明：√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]，等价于
a²+b²+c²+d²+2√(a²+b²)(c²+d²)≥a²+2ac+c²+b²+2bd+d²，等价于
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
由柯西不等式可得上式成立，故原式成立
或：a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²C²+2abcd+b²d²
上式等价于(ad)²+(bc)²≥2ad·bc
而 (ad-bc)²≥0显然成立
故上式成立，从而原式成立
a²+b²+c²+d²+2√(a²+b²)(c²+d²)≥a²+2ac+c²+b²+2bd+d²，等价于
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
由柯西不等式可得上式成立，故原式成立
或：a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²C²+2abcd+b²d²
上式等价于(ad)²+(bc)²≥2ad·bc
而 (ad-bc)²≥0显然成立
故上式成立，从而原式成立
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