已知α，β∈（0，π）且tan（α-β）=12，tanβ=-17，求2α-β的值

已知α，β∈（0，π）且tan（α-β）=12，tanβ=-17，求2α-β的值

∵tan（α-β）=
1
2 ，tanβ=-
1
7 ，
∴tanα=tan（α-β+β）=
tan(α+β)+tanβ
1?tan(α+β)tanβ =
1
3
∴tan（2α-β）=tan（α-β+α）=
tan(α?β)+tanα
1?tan(α?β)tanα =1
∵tanα=
1
3 ＜




3
3 ，tanβ=-
1
7 ＞-




3
3 ，α，β∈（0，π）
∴0＜α＜
π
6 ，＜
π
2 β＜
2π
3
∴-
2π
3 ＜2α-β＜-
π
3
∴2α-β=-
3π
4

∵2α-β=2（α-β）+β，…（2分） 又tan(α?β)＝ 1 2 ，∴tan2(α?β)＝ 2tan(α?β) 1?tan2(α?β) ＝ 4 3 …（4分） 故tan(2α?β)＝tan[2(α?β)+β]＝ tan2(α?β)+tanβ 1?tan2(α?β)tanβ = 4 3 ? 1 7 1+ 4 3 × 1 7 ＝1．…（6分） 又∵tanα＝tan[(α?β)+β]＝ tan(α?β)+tanβ 1?tan(α?β)+tanβ ＝ 1 3 ＜1，…（7分） 且0＜α＜π，∴0＜α＜ π 4 ，∴0＜2α＜ π 2 ．                           …（9分） 又tanβ＝? 1 7 ，且β∈（0，π）?β∈( π 2 ，π)??β∈(?π，? π 2 )．         …（11分） ∴2α-β∈（-π，0）．又tan（2α-β）=1，∴2α?β＝? 3π 4 ．           …（13分）