已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=anlog 12an，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．

（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．
依题意，
有2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，
得a3=8．
∴a2+a4=20．
∴







a1q+a1q3＝20 
a3＝a1q2＝8 
解之得







q＝2
a1＝2 ，或







q＝
1
2
a1＝32
又{an}单调递增，
∴q=2，a1=2，∴an=2n，
（2）bn=2n?log
1
2 2n=-n?2n，
∴-Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
-2Sn=1×22+2×23++（n-1）2n+n?2n+1②
①-②得，Sn=2+22+23++2n-n?2n+1
=
2(1?2n)
1?2 -n?2n+1
=2n+1-2-n?2n+1
由Sn+（n+m）an+1＜0，
即2n+1-2-n?2n+1+n?2n+1+m?2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m?2n+1＜2-2n+1．
对任意正整数n，
m

（i）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ∵a3+2是a2，a4的等差中项 ∴2（a3+2）=a2+a4 代入a2+a3+a4=28，得a3=8 ∴a2+a4=20 ∴ a1q+a1q3＝20 a3＝a1q2＝8 ∴ q＝2 a1＝2 或 q＝ 1 2 a1＝32 ∵数列{an}单调递增 ∴an=2n （ii）∵an=2n ∴bn=2n?log 1 2 2n=-n?2n ∴-sn=1×2+2×22+…+n×2n    ① ∴-2sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n2n+1  ② ∴①-②得， sn=2+22+23+…+2n-n?2n+1=2n+1-n?2n+1-2