首先这个是绝对正确的,数学书上的原话
然后就是麻烦大神给一个严谨一点的证明,不要凭空想象一类的。
谢谢!!!
求证:在空间里过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。
答案:3 悬赏:70
解决时间 2021-02-21 05:07
- 提问者网友:涼初透
- 2021-02-20 12:46
最佳答案
- 二级知识专家网友:一起来看看吧
- 2021-02-20 13:42
设空间一条直线a和一点P,求证过点P可以做一个平与直线a垂直
首先证明存在性:
证:如果点P∈a,则过点P可以做两条直线m、n,使m⊥a,n⊥a。
再过相交直线m、n做一个平面α。则a⊥α,
∴过直线上一点P可以做一个平面和这条直线垂直
如果点P不在直线a上,则可过点P做一条直线a′∥a,
依上结论一定可以过点P做一个平面α⊥a′,∵a′∥a,∴α⊥a,
综上所述 过空间一个定点P可以做一个平面与已知直线垂直
然后证明唯一性:
证:(用反证法证),
如果点P∈a,设另有平面β经过点P,且β⊥a
那么过直线a和m(相交直线)可做一个平面γ,则γ∩β=m′
∵a⊥β且m′∈β,∴a⊥m′
这样在同一平面γ内,过点P有两条不同的直线m、m′垂直于直线a
这与“在同一平面中过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾
∴过点P只有一个平面α与已知直线a垂直
如果点P不在直线a上,则同理可证
首先证明存在性:
证:如果点P∈a,则过点P可以做两条直线m、n,使m⊥a,n⊥a。
再过相交直线m、n做一个平面α。则a⊥α,
∴过直线上一点P可以做一个平面和这条直线垂直
如果点P不在直线a上,则可过点P做一条直线a′∥a,
依上结论一定可以过点P做一个平面α⊥a′,∵a′∥a,∴α⊥a,
综上所述 过空间一个定点P可以做一个平面与已知直线垂直
然后证明唯一性:
证:(用反证法证),
如果点P∈a,设另有平面β经过点P,且β⊥a
那么过直线a和m(相交直线)可做一个平面γ,则γ∩β=m′
∵a⊥β且m′∈β,∴a⊥m′
这样在同一平面γ内,过点P有两条不同的直线m、m′垂直于直线a
这与“在同一平面中过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾
∴过点P只有一个平面α与已知直线a垂直
如果点P不在直线a上,则同理可证
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- 1楼网友:有钳、任性
- 2021-02-20 14:55
当该点P在直线l上时,过P作两条与l都垂直的直线a,b(空间上),则a,b交於P,∴a,b能且只能确定一个平面π
∵l⊥a,l⊥b,∴l⊥π
当P在直线l外时,过P作PQ⊥l於Q,再过Q作任一直线m⊥l(不与PQ重合),则PQ∩m=Q,∴PQ和m能且只能确定一个平面π
∵l⊥PQ,l⊥m,∴l⊥π
- 2楼网友:输掉的尊严
- 2021-02-20 14:42
对。
与同一直线垂直的平面应该是平行的,
证明方法很多,例如,用解析几何证明。当直线确定时,其方向向量确定,所以垂直平面的法向量确定,故垂直平面都平行。
假设直线方向向量为{l,m,n} 直线外一点为(x0,y0,z0)
则 过定点的平面 l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0垂直于该直线
又如果又不知一个平面垂直于改直线,则垂直平面有交点,与垂直平面都平行矛盾。
所以,过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 。
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