泰勒公式展开的技巧

泰勒公式展开的技巧

泰勒公式在x=a处展开为 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+…… 设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……① 令x=a则a0=f(a) 将①式两边求一阶导数，得 f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……② 令x=a,得a1=f'(a) 对②两边求导，得 f"(x)=2!a2+a3(x-a)+…… 令x=a,得a2=f''(a)/2! 继续下去可得an=f(n)(a)/n! 所以f(x)在x=a处的泰勒公式为： f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+…… 应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。 另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理 f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。.不知道满不满意.