已知△ABC的外接圆半径R=根号3，且满足2R(sin平方A-sin平方C)=（a-b）sinB，求△ABC周长的最大值

答案:2 悬赏:70

解决时间 2021-03-24 05:23

提问者网友：梧桐不渝
2021-03-23 16:27

最佳答案

二级知识专家网友：劳资的心禁止访问
2021-03-23 17:55

△ABC的外接圆半径为R，三角形三条边与外接圆半径关系a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
由于2R(sin平方A-sin平方C)=（a-b）sinB=（2RsinA-2RsinB）sinB可推出
sin平方A+sinB平方-sin平方C=sinAsinB，可得（sin平方A+sinB平方-sin平方C）/2sinAsinB=1/2，观察左边关系式符合余弦定理，刚好是cosC.所以cosC=1/2，C=60°
△ABC的周长=a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC),sinC是定值=根号3/2（60°正弦值）.
要求周长最大值只需求sinA+sinB的最大值就可以了。
由于三角形内角180°，C=60°，A+B=120°
sinA+sinB=sinA+sin（120°-A)=3/2sinA+根号3/2cosA,这个式的最大值是根号3

所以△ABC的周长最大值=2R（根号3+根号3/2）=9（R=根号3）

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1楼网友：专属的偏见
2021-03-23 18:29

正弦定理这一定理对于任意三角形abc，都有 a/sina=b/sinb=c/sinc=2rr为三角形外接圆半径 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r带入原式 =2r[（a/2r）^2-(c-r)^2]=(根号三a-b)*(b/2r)([（a/2r）^2表示[（a/2r）的平方) a^2-c^2=根号3ab-b^2 再用余弦定理 cos∠c=根号3/2 ∠c=30°（由题意可知，cos∠c是单调函数，故只有一种可能）

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