已知xcosx是f(x)的一个原函数,求∫xf’(x)dx
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-04-21 03:58
- 提问者网友：乱人心
- 2021-04-20 18:38
已知xcosx是f(x)的一个原函数,求∫xf’(x)dx
最佳答案
- 二级知识专家网友：虚伪的现实
- 2021-04-20 19:08
xcosx是f(x)的一个原函数，
那么f(x)=(x*cosx)'= cosx -x*sinx，
故由分部积分法可以知道
∫xf '(x)dx
=∫ x d[f(x)]
= x*f(x) - ∫ f(x)dx
= x*f(x) - ∫ (cosx -x*sinx) dx
= x*f(x) - sinx + ∫ x*sinx dx
= x*f(x) - sinx - ∫ x d(cosx)
= x*f(x) - sinx - x *cosx +∫ cosx dx
= x*f(x) - sinx - x *cosx +sinx +C (C为常数)
= x*(cosx -x*sinx) - x *cosx +C (C为常数)
= -x² *sinx +C (C为常数)
那么f(x)=(x*cosx)'= cosx -x*sinx，
故由分部积分法可以知道
∫xf '(x)dx
=∫ x d[f(x)]
= x*f(x) - ∫ f(x)dx
= x*f(x) - ∫ (cosx -x*sinx) dx
= x*f(x) - sinx + ∫ x*sinx dx
= x*f(x) - sinx - ∫ x d(cosx)
= x*f(x) - sinx - x *cosx +∫ cosx dx
= x*f(x) - sinx - x *cosx +sinx +C (C为常数)
= x*(cosx -x*sinx) - x *cosx +C (C为常数)
= -x² *sinx +C (C为常数)
全部回答
- 1楼网友：一池湖水
- 2021-04-20 19:58
解：
f(x)=(cosx/x)'
=[(cosx)'·x-cosx·x']/x²
=(-xsinx-cosx)/x²
∫xf'(x)dx=∫xd[f(x)]
=x·f(x)-∫f(x)dx
=x·f(x)-∫[(-xsinx+cosx)/x²]dx
=x·[(-xsinx-cosx)/x²]- cosx/x +c
=-(xsinx+2cosx)/x +c
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