求证:当p,q都是奇数时,方程X²+2PX+2Q等于0(P²-2Q>0)的根都是无理数
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-03-07 21:32
- 提问者网友:追忆成伤
- 2021-03-06 21:24
科学技术文献出版社初升高衔接教材数学第96面第7道
最佳答案
- 二级知识专家网友:最后战士
- 2021-03-06 22:08
要么余数为0(奇数的平方除以4余1,直接展开(2t+1)^2可知,偶数的平方除以4余0),故P^2-2Q=4k^2+4(k-l)-1不可能是完全平方数,该实根是否为无理数取决于P^2-2Q是否为一个完全平方数(判别式中公因数4直接提出去根号外了,剩下P^2-2Q在根号下),下面证明P^2-2Q不可能是一个完全平方数,P、Q是奇数,设该奇数为2
t+1,P^2-2Q=4k^2+4(k-l)-1,这个数除以4余数是3(注,Q=2l+1,其中k,l是整数:(4k^2+4(k-l)是4的倍数,但是所有的完全平方数除以4要么余数为1,-1相当4-1即余3),代入P^2-2Q中化简可得,不妨设P=2k+1明显方程有两相异实根,所以当p,q都是奇数时
t+1,P^2-2Q=4k^2+4(k-l)-1,这个数除以4余数是3(注,Q=2l+1,其中k,l是整数:(4k^2+4(k-l)是4的倍数,但是所有的完全平方数除以4要么余数为1,-1相当4-1即余3),代入P^2-2Q中化简可得,不妨设P=2k+1明显方程有两相异实根,所以当p,q都是奇数时
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- 1楼网友:温柔刺客
- 2021-03-06 22:38
明显方程有两相异实根,该实根是否为无理数取决于p^2-2q是否为一个完全平方数(判别式中公因数4直接提出去根号外了,剩下p^2-2q在根号下),下面证明p^2-2q不可能是一个完全平方数,p、q是奇数,不妨设p=2k+1,q=2l+1,其中k,l是整数,代入p^2-2q中化简可得,p^2-2q=4k^2+4(k-l)-1,这个数除以4余数是3(注:(4k^2+4(k-l)是4的倍数,-1相当4-1即余3),但是所有的完全平方数除以4要么余数为1,要么余数为0(奇数的平方除以4余1,设该奇数为2
t+1,直接展开(2t+1)^2可知,偶数的平方除以4余0),故p^2-2q=4k^2+4(k-l)-1不可能是完全平方数,所以当p,q都是奇数时,方程x²+2px+2q等于0(p²-2q>0)的根都是无理数
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