若[根号X＋2倍4次根号X分之1]的N次方展开式中的前3项系数成等差数列，求展开式中含X的一次项

若[根号X＋2倍4次根号X分之1]的N次方展开式中的前3项系数成等差数列，求展开式中含X的一次项

解析：
由题意展开式通项为：
T(r+1)=C(n,r)* (根号x)的n-r次幂*(2分之1*4次根号X分之1)的r次幂
=(2分之1)的r次幂*C(n,r)*x的2分之n - 4分之3r 次幂
那么可知前3项的系数分别为：
(2分之1)的0次幂*C(n,0)=1，(2分之1)的1次幂*C(n,1)=2分之n，
(2分之1)的2次幂*C(n,2)=8分之n(n-1)
由于展开式中的前3项系数成等差数列，所以：
1+ 8分之n(n-1)=2×(2分之n)
即8+n²-n=8n
n²-9n+8=0
(n-8)(n-1)=0
解得n=8或n=1（不合题意，舍去）
所以展开式通项为：
T(r+1)=(2分之1)的r次幂*C(8,r)*x的4 - 4分之3r 次幂
令4 - 4分之3r=1即4分之3r=3，得：r=4
所以展开式中含X的一次项的项为第5项：
T5=(2分之1)的4次幂*C(8,4)*x
=16分之1*70*x
=8分之35x

前三项的x的系数分别为 1 , nc1*1/2=n/2 , nc2*1/4=n(n-1)/8 成等差数列： n(n-1)/8+1=2 * n/2=n n=1(舍) 或 n=8 （1）求展开式里所有的项:ncp * x^(-1/2)p * x^(-1/4)q * 2^(-q) =x^[-1/4 *(2p+q)] 【p+q=n=8】 有理项：-1/4 *(2p+q)为整数 =>> p=q=4 或p=0，q=8 p=q=4时：35/(8*x^3) ， p=0，q=8时：1/(256*x^2) （2）求展开式里系数最大的项 系数：8ck * 2^(k-8) max=7 此时k=5 或 6 第三项和第四项