高中三角函数不等式

高中三角函数不等式

设A,B,C为三角形的三个内角，证明
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2≥3/4.
9/4≥(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2

上述两个不等式是等价的.
由已知三角形三角恒等式:
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosA*cosB*cosC

所证不等式又等价于
1≥8cosA*cosB*cosC (1)

下面用射影定理来证明.
显然钝角三角形成立,仅需证明锐角三角形情况.
因为
a^2=[b*cosC+c*cosB]^2≥4bc*cosB*cosC; (2-1)
b^2=[c*cosA+a*cosC]^2≥4ca*cosC*cosA; (2-2)
c^2=[a*cosB+b*coab]^2≥4bc*cosA*cosB. (2-3)
(2-1)*(2-2)*(2-3),开方即得(1).