请问什么是向量的外积，并且其几何、算术意义是什么还有如何求？

请问什么是向量的外积，并且其几何、算术意义是什么还有如何求？

把向量外积定义为：
a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>.

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

3）混合积的性质：
定义(a×b)·c为向量a, b, c的混合积，容易证明：
i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a,b,c)
由i)还可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零向量。

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意向量，在r·[a×(b + c)]里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·[a×(b + c)]
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·[a×(b + c) - (a×b + a×c)] = 0
这说明向量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个向量。按3)的iv)，这个向量必为零向量，即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕。

向量的混合积有下述几何意义：以向量、、为棱作一个平行六面体，并记此六面体的高为，底面积为，再记，向量与的夹角为. 当与指向底面的同一侧时，；当与指向底面的相异一侧时，，综合以上两种情况，得到.而底面积. 这样，平行六面体的体积.即向量的混合积是这样的一个数，它的绝对值表示以向量、、为棱的平行六面体的体积.根据向量混合积的几何意义，可以推出以下结论：(1)三向量，，共面的充分必要条件；(2)空间四点共面的充分必要条件是.