如图 圆O直径AB为10cm 弦AC为6cm 角ACB的平分线叫圆于D 求CD

如图 圆O直径AB为10cm 弦AC为6cm 角ACB的平分线叫圆于D 求CD

∠ACB平分线CD交圆于D
∠ACD=45
做OE⊥CD于E
则CD=2·CE ①

根据圆的性质,可知,直径所对的圆周角为直角
故∠ACB=90
由勾股定律易知:
AC=6
BC=8
AB=10
过O作OF⊥AC于F
△OAC中,OA=OC
易知:
CF=(1/2)·AC=3
OC=5
cos∠OCF=CF/OC=3/5=0.6 ②
∠OCE=∠OCF-∠ACD
设∠OCE=α,∠OCFβ
α=β-45③
根据①
CD=2·CE
CD=2·(OC·cosα)
CD=2·(5·cosα)
CD=10·cosα
CD=10·cos(β-45)
CD=10·(cosβ·cos45+sinβ·sin45)
CD=10·(0.8+0.6)·√2/2
CD=7√2

或者可以从反三角函数,根据cosβ=0.6求出β
进而求出α=β-45求解

解：如图， ∵ab是⊙o的直径 ∴∠adb=90°，∠acb=90° ∴ad²+db²=ab² ∴ac²+bc²=ab²， ∵ac=6，ab=10 ∴bc=8 ∵cd是∠acb的角平分线 ∴∠acd=∠bcd ∵∠acd=∠abd，∠bcd=∠bad ∴∠abd=∠bad ∴ad=db ∴2ad²=ab²，ad=5√2 ∵根据托勒密定理“圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积” ∴ab·cd=ac·db+ad·bc ∵ad=db ∴cd=（ac+bc)ad/ab=7√2