上楼梯问题

小龙训练上楼梯，他每次可上1级2级或3级，但不能连续4步都上3级，而且不能踏到第12级，那么小龙共有几种走法？

上到第十四级

没有说楼梯一共有多少级，如果不限制楼梯的级数，就有无限多种走法。
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由于不能踏到第12级，最后几级只有三种走法：
（一）从第11级上2级到第13级，再上1级达到第14级。
（二）从第11级上3级到第14.级。
（三）从第10级上3级到第13级，再上1级达到第14级。
在（一）中，走到第11级有下列几种走法：
（1）由3次上3级和2次上1级组成，有A(5,5)/[A(3,3)*A(2,2)]=10种。
（2）由3次上3级和1次上2级组成，有A(4,4)/[A(3,3)*A(1,1)]=4种。
（3）由2次上3级和5次上1级组成，有A(7,7)/[A2,2)*A(5,5)]=21种。
（4）由2次上3级和1次上2级,3次上1级组成，有A(6,6)/[A(2,2)*A(1,1)*A(3,3)]=60种。
（5）由2次上3级和2次上2级,1次上1级组成，有A(5,5)/[A(2,2)*A(2,2,)*A(1,1)]=30种。
（6）由1次上3级和8次上1级组成，有A(9,9)/[A(1,1)*A(8,8)*]=9种
（7）由1次上3级和1次上2级,6次上1级组成，有A(8,8)/[A(1,1)*A(1,1)*A(6,6)]=56种
（8）由1次上3级和2次上2级,4次上1级组成，有A(7,7)/[A(1,1)*A(2,2)*A(4,4)]=105种
（9）由1次上3级和3次上2级,2次上1级组成，有A(6,6)/[A(1,1)*A(3,3)*A(2,2)]=60种
（10）由1次上3级和4次上2级组成，有A(5,5)/[A(1,1)*A(4,4)]=5种
（11）由1次上2级和9次上1级组成，有A(10,10)/[A(1,1)*A(9,9)]=10种
（12）由2次上2级和7次上1级组成，有A(9,9)/[A(2,2)*A(7,7)]=36种
（13）由3次上2级和5次上1级组成，有A(8,8)/[A(3,3)*A(5,5)]=56种
（14）由4次上2级和3次上1级组成，有A(7,7)/[A(4,4)*A(3,3)]=35种
（15）由5次上2级和1次上1级组成，有A(6,6)/[A(5,5)*A(1,1)]=6种
（16）由11次上1级组成，有1种
一共有10+4+21+60+30+9+56+105+60+5+10+36+56+35+6=503种
在（二）中，走到第11 级应和（一）一样有503种，但由于不能连走4次上3级，前面的（1）中最后三步都是上3级有A(3,3)*A(2,2)/[A(3,3)*A(2,2)]=1种，同样（2）中也是1种，这样，（二）就一共有503-1-1=501种。
在（三）中，走到第10级的走法有下列几种：
（1）由3次上3级和1次上1级组成，有A(4,4)/[A(3,3)*A(1,1)]=4种，其中最后3次都是上3级的有1种，则为4-1=3种。
（2）由2次上3级和4次上1级组成，有A(6，6)/[A(2，2)*A(4，4)]=15种
（3）由2次上3级和1次上2级，2次上1级组成，有A(5，5)/[A(2，2)*A(1，1)*A（2，2）]=30种
（4）由2次上3级和2次上2级组成，有A(4，4)/[A(2，2)*A（2，2）]=6种
（5）由1次上3级和7次上1级组成，有A(8，8)/[A(1，1)*A（7，7）]=8种
（6）由1次上3级和1次上2级，5次上1级组成，有A(7,7)/[A(1，1)*A（1，1）*A(5，5）]=42种
（7）由1次上3级和2次上2级，3次上1级组成，有A(6,6)/[A(1，1)*A（2，2）*A(3，3）]=60种
（8）由1次上3级和3次上2级，1次上1级组成，有A(5,5)/[A(1，1)*A（3，3）*A(1，1）]=20种
（9）由1次上2级和8次上1级组成，有A(9，9）/[A(1，1)*A（8，8）]=9种
（10）由2次上2级和6次上1级组成，有A(8，8）/[A(2，2)*A（6，6）]=28种
（11）由3次上2级和4次上1级组成，有A(7，7）/[A(3，3)*A（4，4）]=35种
（12）由4次上2级和2次上1级组成，有A(6，6）/[A(4，4)*A（2，2）]=15种
（13）由5次上2级组成，有1种
（14）由10次上1级组成，有1种
一共有3+15+30+6+8+42+60+20+9+28+35+15+1+1=273种
全部走法有503+501+273=1277种

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