线性代数问题：A是m*n矩阵,B是n*k矩阵，若r(a*b)=r(b),证明r(a)=n

A是m*n矩阵,B是n*k矩阵，若r(a*b)=r(b),证明r(a)=n

Bx=0的解一定是ABx=0的解

Bx=0基有k-r(B)个
ABx=0基也有k-r(B)个

ABx=0的解一定是Bx=0的解

ABx=0当且仅当Bx=0
Ax=0只有零解

r(A)=n

证明： 设b=(β1, β2,...,βs), 则 ab=a(β1, β2,...,βs)=(aβ1, aβ2,...,aβs)=0 ∴aβ(i)=0, (i=1,2,...,s) 即β1, β2,...,βs是线性方程组ax=0的解 又线性方程组ax=0的基础解系所含的向量个数是n-r(a) ∴r(b)=r(β1, β2,...,βs)≤n-r(a) ∴r(a)+r(b)<=n