求微分方程dy/dx-2xy=-x^3+x通解
答案:1 悬赏:50
解决时间 2021-01-23 00:52
- 提问者网友：寂寞梧桐
- 2021-01-22 03:34
求微分方程dy/dx-2xy=-x^3+x通解
最佳答案
- 二级知识专家网友：孤独入客枕
- 2021-01-22 05:14
这是一阶线性非齐次方程，可以利用公式求解：
y=e^(∫2xdx)[∫(-x³+x)e^(-∫2xdx)dx+C]
=e^(x²)[∫(-x³+x)e^(-x²)dx+C]
=e^(x²)[½∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)+C]( 分部积分法)
=Ce^(x²)+½x²
追问：为什么∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)=x²
追答：我省略了分部积分过程，但并不是你写的结果
∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)=-∫(-x²+1)de^(-x²)
=-[(-x²+1)e^(-x²)-∫e^(-x²)d(-x²)]
=-(-x²+1)e^(-x²)+e^(-x²)
=x²e^(-x²)
所以
e^(x²)[½∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)+C]
=e^(x²)[½x²e^(-x²)+C]
=½x²+Ce^(x²)
现在看懂了吗？
追问：看懂了
y=e^(∫2xdx)[∫(-x³+x)e^(-∫2xdx)dx+C]
=e^(x²)[∫(-x³+x)e^(-x²)dx+C]
=e^(x²)[½∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)+C]( 分部积分法)
=Ce^(x²)+½x²
追问：为什么∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)=x²
追答：我省略了分部积分过程，但并不是你写的结果
∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)=-∫(-x²+1)de^(-x²)
=-[(-x²+1)e^(-x²)-∫e^(-x²)d(-x²)]
=-(-x²+1)e^(-x²)+e^(-x²)
=x²e^(-x²)
所以
e^(x²)[½∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)+C]
=e^(x²)[½x²e^(-x²)+C]
=½x²+Ce^(x²)
现在看懂了吗？
追问：看懂了
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