刘婧:求 ∫∫[（a^2-x^2-y^2）^3/2]dxdy 在xy投影面x^2+y^2≤a^2 上的二重积分？答案得多少
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-04-18 22:26
- 提问者网友：龅牙恐龙妹
- 2021-04-17 21:51
刘婧:求 ∫∫[（a^2-x^2-y^2）^3/2]dxdy 在xy投影面x^2+y^2≤a^2 上的二重积分？答案得多少
最佳答案
- 二级知识专家网友：浪者不回头
- 2021-02-21 02:33
化为极坐标做。
投影面为x^2+y^2≤a^2，所以是r^2≤a^2
所以∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(3/2)]dxdy = ∫rdr*∫[(a^2-r^2)^(3/2)]dθ（r从0到a,θ从0到2π）
= 2π*∫r*[(a^2-r^2)^(3/2)]dr（r从0到a） = 2πa^5/5
投影面为x^2+y^2≤a^2，所以是r^2≤a^2
所以∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(3/2)]dxdy = ∫rdr*∫[(a^2-r^2)^(3/2)]dθ（r从0到a,θ从0到2π）
= 2π*∫r*[(a^2-r^2)^(3/2)]dr（r从0到a） = 2πa^5/5
全部回答
- 1楼网友：恕我颓废
- 2019-10-24 14:23
你好！
设x=r*sinθ，y=r*cosθ (0≤r≤a)
原式=∫dθ∫(a^2-r^2)^3/2*r*dr （θ的上限2π，下限0)（r的上a,下限0）
=2/5*πa^5
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