集合论中序数的定义是什么

集合论中序数的定义是什么

公理集合论(axiomatic set theory)用形式化公理化方法研究集合论的一个学科。数理逻辑的主要分支之一。
在定义序数运算(加、乘、幂)时，需要用超限递归定理:若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(α)。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列:1,2,3，…，0，-1,-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。
事实上，任一良序集〈ω，<;〉，都有惟一的序数α使得〈w，<;〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下:若α,β为序数，γ为极限序数
β+0=β,β+s(α)=s(β+α),β+γ(β+α)，即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β.α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。 可以证明:替换公理是独立于其他公理的。

解释： 一个传递集(α，＜)定义一个序数α，任何一个良序集A，有且仅有一个序数α(传递集)与它序同构：A～α，α即为集合A的序数．每一良序集都有唯一的序数．

一个良序集(α，＜)称为传递集，假如其中良序＜是传递的，即若x＜α，y＜x，则y＜α．
一个传递集(α，＜)定义一个序数α，任何一个良序集A，有且仅有一个序数α(传递集)与它序同构：A～α，α即为集合A的序数．每一良序集都有唯一的序数．
按照自然数的集合论定义，每个自然数n都是良序集；
它关于序＜是传递的，所以每个自然数n都是序数，有限序数
自然数以外的序数，称为超穷序数．最小的超穷序数，是自然数集N本身，记为ω，其后是
ω＋1=ω∪｛ω｝
等等．
序数有三类：第一类是0，它对应空序集(空集也认为是序集)；第二类是后继序数，它是某个序数的后继，所有非零有限序数都是后继序数；第三类是极限序数，不是任何序数后继的超限序数，如ω．
这样定义的序数，任何两个序同构的良序集，其序数相等