已知数列｛an｝满足a1=1,an=3的n-1次方+an-1（n≥2）！！

证明an=(3^n-1)/2

详解

an=3^(n-1)+a(n-1) 两边同除以3^(n-1)
3an/3^n=1+a(n-1)/3^(n-1)
3(an/3^n-1/2)=[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]
(an/3^n)/[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]=1/3
所以{an/3^n-1/2}是以a1/3-1/2=-1/6为首相q=1/3为公比的等比数列
an/3^n-1/2=(-1/6)(1/3)^(n-1)
an/3^n=1/2-(1/6)(1/3)^(n-1)
=1/2-(1/6)(1/3)^(n-1)
=1/2-(1/2)(1/3)^n
=[1-(1/3)^n]/2
=[1-3^(-n)]/2
即an=(3^n-1)/2

（1）求a2,a3; a2=3^(2-1)+a1=3+1=4 a3=3^(3-1)+a2=9+4=13 (2）求证an=(3的n次方-1）/2 an=3的n-1次方+an-1 an-a(n-1)=3^(n-1) => a2-a1=3^1 a3-a2=3^2 a4-a3=3^3 a5-a4=3^4 ...... an+-n-1=3的n-1次方 以上各式相加 a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+...+an-an-1=3+3^2+3^3+3^4+.....+3^(n-1) 左边相互抵消，右边是等比数列 an-a1=3(1-3^(n-1))/(1-3)=3/2*(3^(n-1)-1) an=1+3/2*(3^(n-1)-1) =(3的n次方-1）/2 得证