高二代数 数学归纳法 3题 80分(1)数刑{an}满足Sn=2n-an, n属...
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解决时间 2021-10-13 00:06
- 提问者网友:我一贱你就笑
- 2021-10-12 16:24
高二代数 数学归纳法 3题 80分(1)数刑{an}满足Sn=2n-an, n属...
最佳答案
- 二级知识专家网友:英雄的欲望
- 2021-10-12 17:29
(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.第一项 S1=2-a1=a1 的 a1=1 的 S1=1第二项 S2=2*2-a2=S1+a2 的 a2=3/2 的S2=1+3/2第三项 S3=2*3-a3=S2+a3 的 a3=7/4 的 S3=1+3/2+7/4第四项 S4=2*4-a4=S3+a4 的 a4=15/8 的 S4=1+3/2+7/4+15/8猜想an=(2^n-1)/(2^(n-1))=2-1/(2^(n-1))=2-0.5^(n-1)当n=1时 a1=1 S1=2-a1=2-1=1=a1 成立当n=k k>1属于N+时 ak=2-0.5^(k-1)Sk=2k-后面的等比数列求和 =2k-(1-0.5^k)/0.5=2k-2+0.5^(k-1)2k-ak=2k-2+0.5^(k-1)即 sk=2k-ak 原式成立当n=k+1时 s(k+1)=sk+a(k+1)=2k-2+0.5^(k-1)+2-0.5^(k+1)=2k+0.5^(k)=2(k+1)-2+0.5^(k+1-1)2(k+1)-a(k+1)=2(k+1)-2+0.5^(k+1-1)则当n=k+1时原式成立所以 当n属于N+时原式成立 (2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明s1=0.5(a1+1/a1)=a1 的 a1^2=1 的 a1=1 s1=1s2=0.5(a2+1/a2)=a2+s1 的a2^2+2a2-1=0 的 a2=V2 -1 S2=V2s3=0.5(a3+1/a3)=a3+s2 的 a3^2+2V2a3-1=0 的 a3=V3 -V2 S3=V3可以看出 an=Vn - V(n-1)证明 当n=1 时 a1=1 s1=0.5(1+1)=1=a1 得 原式成立当n=k,k属于N+且k>1时 ak = Vk - V(k-1)sk=a1+a2+a3+……+a(k-1)+ak=1+V2 - V1 + V3-V2 + …… + V(k-1)-V(k-2) +V(k)-V(k-1)=Vksk=0.5(ak+1/ak)=0.5(Vk -V(k-1)+1/(Vk -V(k-1)))=0.5(k+k-1-2V(k(k-1))+1)/(Vk -V(k-1))=(k-V(k(k-1)))/((Vk -V(k-1))=Vk则当n=k时 原式成立当n=k+1时s(k+1)=sk+a(k+1)=Vk + V(k+1)-Vk=V(k+1)s(k+1)=0.5(a(k+1)+1/a(k+1))=V(k+1)则有 当n=k+1 时 原式 也成立所以当n属于N+时 原式成立(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=( )(B)并用数学归纳法证明之通向为1-1/n² = (n+1)(n-1)/(n*n)则(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)3*1 4*2 5*3 (n-1+1)(n-1-1) (n+1)(n-1)= * * *……* * 2*2 3*3 4*4 (n-1)(n-1) n*n=(n+1)/(2n)当 n=2 时 原式=(1-1/4)=3/4=(2+1)/(2*2) 所以原式成立当n=k k>2 且k属于N+时 3*1 4*2 5*3 (k-1+1)(k-1-1) (k+1)(k-1)原式= * * *……* * 2*2 3*3 4*4 (k-1)(k-1) k*k=(k+1)/(2k) 原式成立当n=k+1时 原式= Sk*a(k+1)=(k+1)/(2k)*(k+1+1)(k+1-1)/((k+1)(k+1))=(k+1+1)/(2(k+1)) 即 原式在n=k+1时 成立 所以原式在n属于N+ 且n>=2时成立
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