等差数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,a2S3=75且a1,a4,a13成等比数列 (1)求

等差数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,a2S3=75且a1,a4,a13成等比数列
(1)求数列an的通项公式
(2)若数列an为递增数列，求证1/3小于等于1/S+1/S2+...+1/Sn<3/4

解：
设公差为d，数列各项均为正数，则d≥0。
(1)
a2·S3=a2·(3a2)=3a2²=75
a2²=25
数列各项均为正数，a2>0
a2=5
a1、a4、a13成等比数列，则a4²=a1·a13
(a2+2d)²=(a2-d)(a2+11d)
整理，得2a2·d-5d²=0
a2=5代入，整理，得d(d-2)=0
d=0或d=2
d=0时，an=a2=5
d=2时，an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1
数列的通项公式为an=5或an=2n+1
(2)
数列为递增数列，d>0，d=2
a1=a2-d=5-2=3
an=2n+1
Sn=(a1+an)n/2=(3+2n+1)n/2=n(n+2)
1/Sn=1/[n(n+2)]=½[1/n -1/(n+2)]
1/S1+1/S2+...+1/Sn
=½[1/1-1/3+1/2-1/4+...+1/n-1/(n+2)]
=½[1+½-1/(n+1) -1/(n+2)]
=¾- 1/[2(n+1)] -1/[2(n+2)]
1/[2(n+1)]>0，1/[2(n+2)]>0，¾- 1/[2(n+1)] -1/[2(n+2)]<¾
1/S1+1/S2+...+1/Sn<¾
随n增大， 1/[2(n+1)]、1/[2(n+2)]单调递减，¾- 1/[2(n+1)] -1/[2(n+2)]单调递增
当n=1时， 1/[2(n+1)]有最大值¼，1/[2(n+2)]有最大值1/6
此时，¾- 1/[2(n+1)] -1/[2(n+2)]有最小值=¾-¼-(1/6)=⅓
1/S1+1/S2+...+1/Sn≥⅓
综上，得：⅓≤1/S1+1/S2+...+1/Sn<¾

设等差数列的公差为d

s3=a1+a2+a3=15    a1+d=5  (1)

a4^2=a1*a13

(a1+3d)^2=a1(a1+12d)    d=2a1/3  (2)

把（2）代入（1）得a1=3    d=2

an=3+2（n-1）=2n+1

sn=n(n+1)