已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行。

已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行。
（1） 求函数的单调区间
（2） 求函数的极大值和极小值的差
（3） 当x属于[1，3]时，f(x)大于1-4c^2恒成立，求实数c 的取值范围

要详细过程。

1、先对函数求导 得3x^2+6ax+3b 在2处取极值 则 把2带入导函数的0 所以 12+12a+3b=0 在1处和直线平行 则导数应为-3 所以3+6a+3b=-3 联立两式的a=-1 b=0 再把a b带进导函数可求得减区间为（0 2） 其他的为增区间
2、在0 和2处分别取得极大极小值 带进函数 相减得4
3、在[1 3 ]直间 2处取得最小值 把2带进函数得c-4 所以可得不等式c-4 >= 1-4c^2(最小值都大于1-4c^2才能保证恒成立) 可解的c>=1 c<=-5/4

（1）f(x)导数=3x^2+6ax+3b 由题意12+12a+3b=0 3+6a+3b=-3 所以a=-1 b=0 故3x^2-6x>0得x<0或x>2为增 01或c<-5/4

1)f(x)的导数是g(x)=3x^2+6ax+3b g(2)=0,g(1)=-6/2=-3; a=-1,b=0; g(x)=3x^2-6x=0,x1=0,x2=2; 单调增区间 x>2,x<0; 单调减区间 0<=x<=2; 2)极大值=f(0)=0 极小值=f(2)=-4 差=4 3)f(x)>1-4c^2 因此 x^3-3x^2+c>1-4c^2 4c^2+c+x^3-3x^2-1>0; x属于[1，3]时，在x=2时有x^3-3x^2-1=-5最小; 4c^2+c-5>0; 得c>1或c<-5/4;