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已知函数f(x)的导数是f'(x), 若2f(x)+xf'(x)>x^2,则下列不等式在实数集上恒

答案:2  悬赏:70  
解决时间 2021-03-22 05:16
已知函数f(x)的导数是f'(x),
若2f(x)+xf'(x)>x^2,则下列不等式在实数集上恒成立的是
a.f(x)>0 b.f(x)<0 c.f(x)>x d.f(x)怎样求解?谢谢!
最佳答案
解法一、因为 2f(x)+xf′(x)>x² …………①,下面予以讨论:
(1)x= 0时,代入①得: f(0) > 0
(2)x>0 时,①的两边同乘以x :2xf(x)+x²f′(x) > x³ , 即
[x²f(x)]′> x³>0, 所以函数y= x²f(x)是R+上的增函数,而x>0,
故: x²f(x) > 0²f(0) = 0 , 所以 f(x) > 0
(3)x<0 时,①的两边同乘以x :2xf(x)+x²f′(x) < x³, 即
[x²f(x)]′<x³< 0, 所以函数y= x²f(x)是R-上的增函数,又x< 0,
故: x²f(x)> 0²f(0) = 0 , 所以也有 f(x) >0
综上可知,x∈R 时,总有 f(x)>0
所以选 A
解法二、
选择题也可以这样来做!
把x=0代入 2f(x)+xf′(x)>x²
由f(0) > 0 即排除选项B和D,
显然 f(x)=x²+a(a>0)时 已知条件 2f(x)+xf′(x)>x² 成立,
但f(x)>x 未必成立,所以C也是错的,故选 A
全部回答
解:因为 2f(x)+xf′(x)>x^2 …………①,下面予以讨论: (1)x= 0时,代入①得: f(0) > 0 (2)x>0 时,①的两边同乘以x :2xf(x)+x^2f′(x) > x^3 , 即 [x^2f(x)]′> x^3>0, 所以函数y= x^2f(x)是r+上的增函数,而x>0, 故: x^2f(x) > 0^2f(0) = 0 , 所以 f(x) > 0 (3)x<0 时,①的两边同乘以x :2xf(x)+x^2f′(x) < x^3 , 即 [x^2f(x)]′<x^3< 0, 所以函数y= x^2f(x)是r-上的增函数,又x< 0, 故: x^2f(x)> 0^2f(0) = 0 , 所以也有 f(x) >0 综上可知,x∈r 时,总有 f(x)>0 所以选 a ——————————但————————是—————————— 选择题应该这样做! 由f(0) > 0 即排除选项b和d, 显然 f(x)=x^2 +a(a>0)时 已知条件 2f(x)+xf′(x)>x^2 成立,但 f(x)>x 未必成立,所以c也是错的,故选 a
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